Relationen- Satzgültigkeit: Vollständigkeit gilt bei ≤ und ≥ Relationen. Nicht bei =, ≠, >, <. Relationen.

Question

ich habe ein Problem ich habe vor ein paar Wochen einen Kurs besucht und in diesem habe ich einen Merksatz zu den Relationen bekommen.

Vollständigkeit ist bei ≤ und  ≥ Relationen erfüllt. Nicht bei =, ≠, >, <. Relationen.

Hier mal ein kleines Bsp. wo dies auch zutrifft.

In A x B mit A := B := [ 0, ∞ )² betrachten wir die Relation ≤ diefiniert durch,

x ≤ y :⇔ 5x₁+ 4x₂ ≤  5y₁ + 4y₂

Hier nur für vollständigkeit.

Bedingung:    xRy ∨ yRx

                         x   ≤   y  ∨   y ≤  x

                       5x₁+ 4x₂ ≤  5y₁ + 4y₂  ∨    5y₁+ 4y₂ ≤  5x₁ + 4x₂                 

                                  A                          ∨                     B                        Also ist es wahr sobald eins der beiden wahr ist

                                                                                                                 A "oder" B.

In diesem Fall ist ja nun A ja wahr weils es so in der Aufgabenstellung definiert ist.

Also ist diese Realtion Vollstänig

Jetzt zu meiner eigentlichen Frage, ich bin auf eine Aufgabe gestoßen in der dieser Merksatz nicht zutrifft besitzt der Merksatz also doch keine allgemeine Gültigkeit wie mir zugesichert wurde.

Def. für beliebig x = (x,y) , und x´ =( x´, y´) ∈ R²

hierfür sollten wir nun die Realtione ≤ überprüfen

Also def. wir x ≤ x´ :⇔ x ≤ x´ ∧ y ≤ y´  

hier haben wir dann bei Vollständigkeit ein Gegenbeispiel genommen x= (1,2) x´=(2,1)

und festgestellt, dass es hier nicht vollstänig ist. Dies verstehe ich nun überhaupt nicht ...

Hier auch nochmal die anderen Merksätze:

Reflexivität ist bei =, ≤,≥ Realatioen erfüllt .Reflexivität ist bei ≠,<,> Realatioen nicht erfüllt .

Transitivität ist bei <,>,=,, ≤,≥ Relationen gegeben. nicht bei ≠ Realtionen .

Ich bin schon ewig am nachdenken komme aber irgendwie nicht drauf wäre sehr froh über ein wenig Hilfe.

Answer 1

Def. für beliebig x = (x,y) , und x´ =( x´, y´) ∈ R²

 

hierfür sollten wir nun die Realtione ≤ überprüfen

Also def. wir x ≤ x´ :⇔ x ≤ x´ ∧ y ≤ y´  

Euer Merksatz bezog sich wohl auf die üblichen ≤… Definitionen in R

In R^2, R^3… muss man erst eine Ordnung definieren und dann die Definition am Eigenschaften, wie zB. Vollständigkeit prüfen. Du kannst da nicht davon ausgehen, dass ein in einer Definition verwendetes Ungleichheitszeichen irgendwelche Eigenschaften einer Relation impliziert.

Nimm z.B.

 x = (1,2) , und x´ =( 2, 1)       Nun gilt 1 ≤ 2 aber 2≥1 darum kannst du zwischen x und x' weder ein ≤ noch ein ≥ setzen. Die Relation die so definiert wurde ist also nicht vollständig.

Ich hoffe, das hilf ein Stück weiter. Vielleicht verstehst du auch einen Teil des folgenden Wikipediaartikels:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation