Trigonometrische Funktion: 3cos(2x-pi/2)-1. Nullstellen bestimmen.

Question

Ich habe ein Problem mit cos-Funktion. Bei dem Versuch die 0-Stelle zu ermitteln, bekomme ich einfach nicht das richtige Ergebnis raus.

Funktion: 3cos(2x-pi/2)-1

Rechenweg:

f(x)=0

0 = 3cos(2x-pi/2)-1 | :3

0 = cos(2x-pi/2)-1 | +1

1 = cos(2x-pi/2) | cos^-1

0 = 2x-pi/2 | +pi/2

pi/2 = 2x | :2

1/4pi = X

Folglich ist 1/4 Pi gleich die erste Nullstelle. Leider ist das aber laut Überprüfung und Grafikrechner nicht der Fall, sondern X=1,4 ist die Nullstelle.

Da ich schon mal frage, wie schreibe ich die kommenden Nullstellen richtig auf? (Periode ist Pi)

Ich bedanke mich schon mal für jede Hilfe.

Answer 1

0 = 3cos(2x-pi/2)-1 | :3

0 = cos(2x-pi/2)-1/3 | +1

1/3 = cos(2x-pi/2) | cos^-1

1.23096  = 2x-pi/2 | +pi/2

2.80176 = 2x |:2

1.4009 = x

 

Aus Symmetriegründen gibt es weitere Lösungen: cos ist 2π-periodisch und symmetrisch zur y-Achse:

±1.23096 + 2kπ  = 2x_k-pi/2 | +pi/2           , k Element Z

±1.23096 + 2kπ  + π/2 = 2x_k | :2

±0.61547 + π/4 + kπ  = x_k   , k Element Z

Comments

Nur als Nachfrage ob ich es dann auch richtig verstanden habe, hier noch mal das Beispiel für die Extemstellen:

f'(x)= 0

0= - 6 sin (2x - Pi/2)  | : (-6)  | sin^-1

0= 2x - Pi/2

0 + 2kπ = 2x - Pi/2 | + Pi/2

2kπ + π/2 = 2x | :2

kπ + 1/4π = X(Beliebige)

Das ist dann richtig oder?

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kπ + 1/4π = x_k

Durch die Addition von 2kπ hier 0 + 2kπ = 2x - Pi/2 | + Pi/2 bekommst du nur die Hochpunkte. in Skizze bei π/4, 5π/4 und 9π/4 eingezeichnet.

Sinus ist aber alle 180° wieder 0. Daher für die Extremalstellen einfach kπ addieren und später hast du dann π/4 + kπ/2. (k gerade: Hochpunkt, k ungerade: Tiefpunkt)

Answer 2

f(x) = 0

3 * cos(2x - pi/2) - 1 = 0

3 * cos(2x - pi/2) = 1

cos(2x - pi/2) = 1/3

2x - pi/2 = ± (1.231 + n * 2pi)

2x = pi/2 ± (1.231 + n * 2pi)

x = pi/4 ± (0.6155 + n * pi)

x1 = 1.401 und weitere 

x2 = 0.170 und weitere

Comments

Ich muss gestehen aus diesem Schritt werde ich nicht ganz schlau:

cos(2x - pi/2) = 1/3

2x - pi/2 = ± (1.231 + n * 2pi)

magst du da vielleicht ein zwei Sätze zu sagen?

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na klar. Also wir lösen den cos mit dem arccos() = cos^{-1}() auf.

2x - pi/2 = arccos(1/3)

Nun wissen wir aber das der Cosinus symmetrisch zur y-Achse ist. Daher ist auch 

2x - pi/2 = -arccos(1/3)

eine Lösung. Weiterhin wissen wir auch das wenn ich beliebige vielfache von 2 pi zu dieser Lösung addiere ich auch weitere Nullstellen bekommen. Das ganze gibt dann also

2x - pi/2 = ± (arccos(1/3) + n * 2pi)
x = pi/4 ± (1/2*arccos(1/3) + n * pi) mit n ∈ ℤ

Oben hatte ich den arccos(1/3) gerundet angegeben. Den kannst du aber besser so stehenlassen und erst die Erbebnisse gerundet angeben.