Gerade g2 durch C(7|-7|-1) soll die Gerade (AB) senkrecht schneiden. Vektorgeometrie.

Question

Meine Frage:
Ich komme an folgende Frage nicht weiter:

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(1|2|-1) und C(7|-7|-1).
Ermitteln Sie:
a)Die Gerade g1(lambda) durch die Punkte A und B.
b)Die Gerade g2(lambda) durch den Punkt C, welches die Gerade g1(lambda) senkrecht schneidet.

a) habe ich schon gelöst. Ergebnis: g1(lambda) = (1|2|3)+ lambda(0|0|-4).

b) bekomme ich nicht gelöst.

Answer 1

Aufgabe a) ist soweit Richtig

 

Zu b)

Der Startpunkt von g2 ist natürlich C, also (7|-7|-1). Das Problem ist der Richtungsvektor.

Hier gilt: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist Null, wenn beide Senkrecht zueinander stehen.

Das Skalarprodukt so berechnet: Die zwei Vektoren Zeienweise multiplizieren und dann alles addieren, d.h. es kommt eine einfache Zahl heraus

Also: g1_x*g2_x + g1_y*g2_y + g1_z*g2_z = Skalarprodukt

Konkret: 0*g2_x +0*g2_y -4*g2_z = 0

Das ist offensichtlich dann der Fall wenn g2_z =0 ist. Die Werte für g2_x und g2_y sind dabei egal. Die dürfen auch Null sein, aber nicht beide gleichzeitig, sonst bekommst du den Null-Vektor, und das ist keine Lösung.

Also (1|1|0) oder (0|17|0) oder (-3,14|2,71|0) sind gültig Lösungen.

g2 wäre also z.b. (7|-7|-1) + lambda(1|1|0).
 

Comments

@Reinhard. Das Problem bei deiner Lösung: Nicht alle diese Geraden schneiden g1 tatsächlich.

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Stimmt, das hab ich übersehen.

Answer 2

Ich schreibe für den Parameter t und s. Das ist etwas einfacher zu schreiben. Vektoren sind fett. Pfeile und Schreibweise bitte anpassen.

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(1|2|-1) und C(7|-7|-1). 
Ermitteln Sie: 
a)Die Gerade g1(lambda) durch die Punkte A und B. 
b)Die Gerade g2(lambda) durch den Punkt C, welches die Gerade g1(lambda) senkrecht schneidet.

a) habe ich schon gelöst. Ergebnis: g1: r = (1|2|3)+ t(0|0|-4) = (1|2|3-4t)

Richtung: z-Achse.

b) bekomme ich nicht gelöst. 

Ansatz g2:  r = (7|-7|-1)+ s(a|b|c) = (7+as| -7 + bs| -1 + sc)

Senkrecht heisst: Skalarprodukt ist 0. 

(0|0|-4)(a|b|c) = -4c = 0 → c=0
senkrechte zur z-Achse haben z-Komponente 0.
 

Schnittpunkt: Die blauen Terme müssen komponentenweise übereinstimmen. 

Ich beginne unten, da c=0.
-1 = 3-4t,
4t=4. 
t=1
Schnittpunkt S(1|2|-1)

Schnittpunkt nicht explizit verlangt. (Dient also nur zur Kontrolle)

Erste 2 Komponentengleichungen

7+as = 1,  -----> as = -6

-7 + bs= 2, → bs = 9

Beide Terme durch 3 teilbar. Daher nehme ich s=3 und habe a=-2 und b=3

Resultat:  g2:  r = (7|-7|-1)+ s(-2|3|0)

Kontrolle: s=3 einsetzen. S(7-6| -7+9| -1) ok.
 

Comments

g2:  r = (7|-7|-1)+ s(-6|9|0) muss eigerntlich auch richtig sein oder? Ich habe nicht verstanden warum du den letzten Schritt gemacht hast.

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Ja. Das geht selbstverständlich auch. Du brauchst einen Vektor mit der gleichen Richtung wie (-6|9|0).

Wenn du deinen Vektor noch durch 3 dividierst, hast du etwas einfacher Zahlen, falls du weitere Rechnungen zu machen hast.