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Punktweise Konvergenz
Um die punktweise Konvergenz der Reihe \(\sum x^n \log(1 + \frac{x}{n})\) nachzuweisen, betrachten wir den Limes des allgemeinen Terms für \(n \to \infty\). Wir analysieren:
\(a_n(x) = x^n \log(1 + \frac{x}{n})\)
Für \(x = 0\) ist klar, dass \(a_n(0) = 0\) für alle \(n\), also konvergiert die Reihe punktweise zu 0 für \(x = 0\).
Für \(x \neq 0\), betrachten wir:
\( \lim_{n \to \infty} a_n(x) = \lim_{n \to \infty} x^n \log(1 + \frac{x}{n}) \)
Erinnern wir uns an die Bedingung \(x > -1\), dann für \(x \in (-1, 1)\) geht \(x^n\) gegen 0, da \(|x| < 1\), und \(\log(1 + \frac{x}{n})\) nähert sich 0, da \(\frac{x}{n}\) gegen 0 geht. Damit geht das Produkt gegen 0. Wenn \(x \geq 1\), dann wächst \(x^n\) unbeschränkt, und das Verhalten ist komplexer, aber die Frage fokussiert sich auf \(x \in (-1, 1)\), daher konzentrieren wir uns auf diesen Bereich.
Gleichmäßige Konvergenz
Um gleichmäßige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall \([a, b] \subset (-1, 1)\) zu zeigen, verwenden wir das Weierstraß-Kriterium. Hierfür müssen wir zeigen, dass für jedes solche \([a, b]\) eine integrierbare Funktion \(M_n(x)\) existiert, sodass \(|a_n(x)| \leq M_n(x)\) für alle \(x \in [a, b]\) und alle \(n\) und dass \(\sum M_n(x)\) konvergiert.
Da \(\log(1 + \frac{x}{n})\) für \(n \to \infty\) gegen 0 konvergiert und \(x^n\) für \(|x| < 1\) ebenfalls gegen 0 geht, betrachten wir die Reihe
\( \left| x^n \log(1 + \frac{x}{n}) \right| \)
Da \([a, b] \subset (-1, 1)\), gibt es ein \(0 < q < 1\) so, dass \(|x| \leq q\) für alle \(x \in [a, b]\). Da der Logarithmus für kleine positive Argumente kleiner als das Argument selbst ist, d.h., \(\log(1 + y) < y\) für \(0 < y < 1\), haben wir
\( \left| \log(1 + \frac{x}{n}) \right| < \frac{|x|}{n} \leq \frac{q}{n} \)
Also, wählen wir \(M_n(x) = q^n \cdot \frac{q}{n}\). Da \(q < 1\), ist \(\sum q^n\) eine geometrische Reihe, die konvergiert. Ebenso konvergiert \(\sum \frac{1}{n}\) zu der harmonischen Reihe, welche divergiert. Aber wegen der Multiplikation mit \(q^n\) (was stark genug abnimmt) erhalten wir, dass \(\sum M_n(x)\) konvergiert.
Daher erfüllt die gegebene Reihe das Kriterium für gleichmäßige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall \([a, b] \subset (-1, 1)\), da wir eine Majorante \(M_n(x)\) gefunden haben, für welche die Reihe \(\sum M_n(x)\) konvergiert.
