Rechnerische Bestimmung von lokalen Extrempunkten: Bsp. f(x) = 1/3 x^3 - 4x

Question

Bestimmen sie rechnerisch die lokalen extrempunkte.

a) f(x) = 1/3 x^3 - 4x

b) f (x) = 1/4 x^3 -3x^2 +9x

c) f(x) = 0,5 x^4 -3x^2

d ) f(x) = 1/4 x^4 -3/2x^3 +2

Answer 1

Die lokalen Extrempunkte sind dort, wo die erste Ableitung der Funktion Null ist. Bei (a) also bei x=2 (lokales Minimum) und bei x=-2 (lokales Maximum). https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1%2F3+x3+-+4x,+differentiate+1%2F3+x3+-+4x

Comments

ich will aber wissen wie man es rechnerisch berechnen kann !

---

Berechne mal die Ableitung der gegebenen Funktionen. Grosserloewe hat dir das für a) schon vorgerechnet.

---

Du bildest die erste Ableitung (also x^2 - 4), setzt diese gleich Null, und löst auf nach x.

x^2 - 4 = 0       addiere auf jeder Seite 4

x^2 = 4            ziehe auf jeder Seite die Quadratwurzel

x = 2               (mit beiden Vorzeichen, weil auch -2 * -2 wieder 4 gibt

---

Ahso , danke aber wie würde man es mit einer p-q formel rechnen denn da fehlt ja das q ?

---

Wenn schon, fehlt das p.

Setz mal p=0 in die pq-Formel ein.

Was bekommst du so?

---

In diesem Fall aber ist doch -4 p und q fehlt ja oder nicht ?

---

Wiederhole erst mal die Bezeichnungen:

---

Es geht selbstverständlich in diesem Fall viel schneller, wenn du die 3. binomische Formel noch präsent hast.

x^2 - 4 = 0

(x-2)(x+2) = 0

x1 = 2 und x2 = -2.

Aber mit der pq-Formel geht das auch und bei andern Aufgaben brauchst du sie sowieso.

Answer 2

a) f(x) = 1/3 x³ - 4x

y'=  x^2-4 =0

y''=2

x_1=2 -> f''x)> 0  MIN ->y= -16/3

x_2=-2 ->f'(x) < 0 MAX -->y= 16/3

Für die y Werte :

Einsetzen der x -Werte (Wert 2) in die Aufgabe:

z.B.y= 1/3 *2^3 -4*2 = 8/3 -8= -16/3