Bestimmen von Extrempunkten

Question

Aufgabe:

Zeigen sie das f mit f(x) = 4e^-x + 2x + 1; xE R  in x= ln(2) eine extremstelle hat.

Bestimmen sie Art und Lage des zugehörigen Extrempunktes

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe. Das Ln(2) verwirrt mich ein wenig.

Answer 1

ln(2) ist laut taschenrechner ungefähr 0.6931

das bedeutet das e^0.6931 in etwa 2 ist.

f(x) = 4·e^(-x) + 2·x + 1

f'(x) = 2 - 4·e^(-x) = 0 → x = LN(2) = 0.6931

f(LN(2) = 2·LN(2) + 3 = 4.386 → TP(0.6931 | 4.386)

Aufgrund des Verhaltens im unendlichen muss das ein Tiefpunkt sein

Answer 2

$$f(x) = 4e^{-x} + 2x + 1$$$$f'(x) = -4e^{-x} + 2=0$$$$e^x=2$$$$x=ln(2)$$

$$f(ln(2))=3+2ln(2)≈4,386$$

$$EP= (ln( 2)| 3 +2ln ( 2))≈ ( 0,693| 4,386)$$

Da

$$f''(x)=4e^{-x}>0$$

haben wir einen Tiefpunkt