Vektorraum mit Dimension

Question

 

Kann mit jemand erklären warum die Abbildung vom 

R ^3 -> R^2 nicht injektiv ist. 

Comments

> Kann mit jemand erklären warum die Abbildung vom 

> R ³ -> R² nicht injektiv ist. 

Meinst du eine bestimmte Abbildung (dann bitte angeben!) oder eine beliebige?

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Nein eine beliebige also in der Klausur stand genau die Aufgabenstellung  wir ohne und das habe ich nicht verstanden  wie ich es beweisen soll.  

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Kannst / Darfst du den genauen Wortlaut der Fragestellung angeben? 

Es könnte schon sein, dass es keine injektive lineare Abbildung von R^3 -> R^2 geben kann.

Da diese einen Kern der Dimension 1 oder mehr haben muss, und alle Elemente des Kerns dasselbe Bild haben. 

Answer 1

Ich vermute mal, dass es um eine LINEARE Abbildung L geht.

Dann kannst du den Dimensionssatz nehmen

dim Kern (L)  + dim Bild(L) = dim( IR^3 )

wäre L injektiv, dann wäre dim Kern(L) = 0

also   0 +  dim Bild(L) = dim( IR^2 )= 3

aber Bild (L) ist ein Unterraum von IR^2 , kann also

keine dim > 2 haben.