Anfangswertproblem / Zeige dass es eine Lösung der Form y1=xn besitzt

Question

Gegeben ist das Anfangswertproblem

x³ y'' + x y' - y = 1

y(1) = 3;    y'(1) = 4

a) Zeigen Sie, dass die homogene Differentialgleichung eine Lösung der Form y1 = xⁿ  besitzt.

b) Welche einfache Lösung der inhomogenen Gleichung kann sofort erraten werden.

Das ist eine Aufgabe die ich gerade Lösen muss, war bei dem Thema aber krank und bin total überfordert wie ich da überhaupt vorgehen muss. Es wäre also echt toll wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, ich bin grad total verzweifelt deswegen..

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich x³ y'' und nicht etwa x² y'' ?

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ja ganz sicher, hab grad nochmal nachgeschaut

Answer 1

Eine Funktion $y=y(x)$ heisst Lösung der Differentialgleichung $$F(x,y, y',y'')=0,$$ wenn $$F(x,y(x),y'(x),y''(x))\equiv0$$ gilt. Sprich: wenn man die Funktion zusammen mit ihren Ableitungen einsetzt, dann stimmt's für alle $x$.

Bei a) sollst Du den Ansatz $y=x^n$ in die homogene Gleichung $$x^3y''+xy'-y=0$$ einsetzen und dann $n$ so bestimmen, dass es aufgeht.

Answer 2

a) Alternativ kannst Du das auch über den folg Ansatz das nachweisen:

y= x*z

y'= x *z' +z

y''= x *z'' +2 z'

->Einsetzen in die Aufgabe:

x⁴ z'' +z' (2 x³+x²)= 1

Mit der folg Substitution:

z'= u

z''=u'

bekommst Du

x⁴ u' +u (2 x³+x²)= 1 ,

was Du mit Variation der Konstanten löst.

Anschließend noch resubstituieren.

Zum Schluß noch die Anfangsbedingungen einsetzen.