Zeigen, dass ein Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt mit Picard-Lindelöf?

Question

Sei I ein abgeschlossenes Intervall mit π ∈ I. Zeige, dass das Anfangswertproblem

y'(t) = y(t)·sin(t), t ∈ I,   y(π)=0

eine eindeutige Lösung besitzt. Verwenden Sie den Satz von Picard-Lindelöf.

Den Satz von Picard-Lindelöf kenne ich, jedoch fällt es mir schwer diesen hier anzuwenden. Könnte ihr mir das an diesem Beispiel erklären?

Danke

Answer 1

Mit \( f(t,y(t)) = y(t) \cdot \sin(t) \) gilt doch,

$$  \| f(t,y_1) - f(t,y_2) \| \le \| y_1 - y_2 \|  $$ Damit ist \( f(t,y) \) Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante \( L = 1 \)

Comments

Wie kommst du auf die Lipschitzkonstante  L=1.

Habe: |(y₁-y₂) * sin(t)|. Wie kann ich hier weiter abschätzen? t ist doch ∈ I und π ∈ I. Dann müsste sin(π)=0 sein?

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es gilt  -1 ≤ sin(t) ≤ 1  ,  also  | sin(t) | ≤ 1