Vollständige Induktion: ∑n_(k=1) [(k+3)*2k] = (n+2) * 2n+1 - 4

Question

Zeigen sie mit vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n>=1 Folgendes gilt:

∑ⁿ_k=1  [(k+3)*2^k]  = (n+2) * 2ⁿ⁺¹-4

Da ich Induktion noch nicht allzu oft gemacht habe komme nach etwas probieren leider nicht mehr weiter:

IA:  n -> 1

Linke Seite:     (1+3)*2¹ = 8

Rechte Seite:  (1+2)*2¹⁺¹-4 = 8

IS: n -> n+1

∑ⁿ⁺¹_k=1  [(k+3)*2^k]  =

[ ∑ⁿ_k=1  (k+3)*2^k]  + [((n+1)+3)*2ⁿ⁺¹]  =

[(n+2)+2ⁿ⁺¹-4] +  [((n+1)+3)*2ⁿ⁺¹]  =

Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Denke das ich zumindest mal bis hier hin nichts falsch gemacht habe.

Comments

Schreibweise

IA:  n =  1        . Hier geht es NUR um n=1.

IS: n -> n+1    . Hier geht es um einen Übergang von n nach n+1. Daher der Pfeil. 

Answer 1

IS: n -> n+1    . Hier geht es um einen Übergang von n nach n+1. Daher der Pfeil. 

Schreibe erst mal die Induktionsvoraussetzung IV und die Induktionsbehauptung IB hin, damit klar ist, wohin deine Rechnung gehen soll. 

Dann der Beweis des Induktionsschritts: 

∑ⁿ⁺¹_k=1  [(k+3)*2^k]

= [ ∑ⁿ_k=1  (k+3)*2^k]  + [((n+1)+3)*2ⁿ⁺¹]      | IV 

= [(n+2)*2ⁿ⁺¹-4] +  [((n+1)+3)*2ⁿ⁺¹]        | Eckige Klammern überflüssig

=  (n+2)*2ⁿ⁺¹-4  +  ((n+4)*2ⁿ⁺¹]

= (n+2 + n+ 4) * 2ⁿ⁺¹  - 4

= (2n + 6) * 2ⁿ⁺¹ - 4

= (n+3) * 2 * 2ⁿ⁺¹ - 4

= ( n+1 + 2) * 2 ^{n+1 + 1}   - 4             Das sollte jetzt der Induktionsbehauptung nahe kommen. 

Comments

Super, vielen Dank für die Hilfe  Lu!