Vollständige Induktion: Summe von Fakultäten A(n): (i=0)∑ⁿ ( i! *i) = (n+1)! - 1 für alle n ∈ ℕ

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b)

Zu zeigen A(n): _i=0∑ⁿ ( i! *i) = (n+1)! - 1 für alle n ∈ ℕ

A(0): 0! * 0 = 1! -1 ist wahr

A(n) → A(n+1)

_i=0∑ⁿ⁺¹ ( i! *i) = _i=0∑ⁿ ( i! *i) + (n+1)! * (n+1) =_IV (n+1)! - 1 + (n+1)! * (n+1)

= (n+1)! * (1 + n+1) - 1 = ( (n+1) + 1 )! - 1

c)

zu zeigen A(n): _j=2∏ⁿ (j-1) / j = 1/n für alle n ∈ ℕ_≥2

A(2): (2-1) / 2 = 1/2 = 1/n wahr

A(n) → A(n+1)

_j=2∏ⁿ⁺¹ (j-1) / j = ( _j=2∏ⁿ (j-1) / j ) * (n+1-1) / (n+1) =_IV 1/n * (n+1-1) / (n+1)

= 1/n * n / (n+1) = 1 / (n+1)

Gruß Wolfgang

Beantwortet 3 Dez 2016 von -Wolfgang-

Ein anderes Problem?

Tally · Answer 1 · 2016-12-03T20:58:40+0000

Beweis für erste Aussage in a): $2^n<n!\quad ∀n≥4$

Induktionsanfang:

$n=4 ⇒ 2^n=2^4=2*(2^3)<4!=4*3*2*1=3*(2^3)$

Induktionsschritt:

Wir nehmen an, Aussage sei richtig für $k>4$

also $2^k<k!$

bemerke, dass $2^{k+1}=2*2^k ∧ (k+1)!=(k+1)*k!\quad ,\quad k+1>2$

$2^{k+1}=2*2^k<2*k!$

$2*k!<(k+1)!=(k+1)*k! ⇒2^{k+1}<(k+1)!$

$q.e.d.$