Differenzierbarkeit: In beiden Fällen kann man den Definitionsbereich durch stetige Ergänzung auf ganz R erweitern

Question

Die Funktionen f(x) = x sin 1/x und g(x) = x² sin 1/x sind auf R\{0} definiert und stetig. In beiden Fällen kann man den Definitionsbereich durch stetige Ergänzung auf ganz R erweitern. Realisieren Sie diese Erweiterungen (wie?) und untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der beiden erweiterten Funktionen an der Stelle x₀ = 0.

 

Bitte Hilfe ;]]

Comments

Am einfachsten wäre eine abschnittsweise definierte Funktion

f(x) = x * sin(1/x) für x≠0
f(x) = 0 für x=0

Ich weiß aber nicht ob das damit gemeint ist.

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nein, es ist nicht so einfach :D

Answer 1

Offenbar ist −x ≤ f(x) ≤ x für alle x ≠ 0. Daraus folgt lim(x→0, f(x)) = 0. Entsprechendes gilt für g. Damit ist in beiden Fällen die Ergänzung bestimmt und die Stetigkeit nachgewiesen. Um die Differenzierbarkeit zu untersuchen, würde ich die Differenzenquotienten heranziehen.