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Die gegebene Fläche lautet: z= x²+y²+3

und die Ebene: E: 6x+3y-2z=6


Was mich nun irritiert ist der Begriff Fläche.. in meiner Formelsammlung finde ich immer nur den Abstand Punkt Ebene, Punkt Gerade, Ebene Ebene.. usw.. aber was ist mit der Fläche gemeint wie kann ich mir das vorstellen?


Wie gehe ich am besten an diese Aufgabe ran?
Danke schon Mal
von

F: z = x^2 + y^2 + 3
E: 6·x + 3·y - 2·z = 6 

Oh das ist wirklich eine spannende Aufgabe. Sowas hab ich auch noch nie gemacht. Erstmal sollte klar sein, dass unsere Ebene eine Flache Ebene im Raum ist. Die Fläche die du gegeben hast dürfte eine krumme nicht endliche Fläche haben.

Wenn wir mal die Ebene in die Abstandsform bringen erhalten wir

d = (6·x + 3·y - 2·z - 6)/√(6^2 + 3^2 + 2^2) = (6·x + 3·y - 2·z - 6)/7

Mir bleibt ja jetzt fast nichts anderes übrig als für das z mal die Flächengleichung einzusetzen.

d = (6·x + 3·y - 2·(x^2 + y^2 + 3) - 6)/7 = - (2·x^2 - 6·x + 2·y^2 - 3·y + 12)/7

Das soll jetzt für ein (x, y) minimal werden. Also bilde ich die beiden partiellen ableitungen die ich dann 0 setze.

d/(dx) = 6/7 - 4·x/7 = 0
x = 3/2 = 1.5

d/(dy) = 3/7 - 4·y/7 = 0
y = 3/4 = 0.75

z = x^2 + y^2 + 3 = (3/2)^2 + (3/4)^2 + 3 = 93/16 = 5.8125

[3/2, 3/4, 93/16]

Ich werde mal versuchen das zu skizzieren:

Man sollte die Ebene, die gewölbte Fläche und den blau skizzierten Punkt erkennen können:

Ich hatte das als Kommentar angefangen zu schreiben, weil ich mir recht unsicher war. Vielleicht schaut auch ein anderer noch mal drüber. Aber eigentlich sieht das soweit gut aus. Ich weiß nicht ob es rechnerisch nötig ist ein Minimum nachzuweisen, da der Abstand für sehr große x und y sicher immer größer wird.

Lang Lang ist's her.

Anlässlich

https://www.mathelounge.de/440964/wie-gross-abstand-zwischen-flache-ebene-welche-beiden-punkte

hab ich erstmal eine numerische Lösung gesucht und dann deinen Weg in GeoGebra nachgerechnet  - alles im grünen Bereich jetzt haben wir auf drei unabhängigen Wegen die gleiche Lösung erhalten

Gruß

1 Antwort

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Um den Abstand zu bestimmen setzte ich den Punkt in die Abstandsformel ein

d = (6·(3/2) + 3·(3/4) - 2·(93/16) - 6)/7 = - 51/56 = -0.9107

Der Abstand beträgt also 0.9107 LE.

von 477 k 🚀

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