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In ein mit einer Flüssigkeit gefülltes Gefäß wird ein Gegenstand eingebracht, wobei durch Rühren dafür gesorgt wird, dass die Flüssigkeit eine gleichmäßige (von der Zeit t abhängig Temperatur S(t) hat. Die Temperatur der Oberfläche des Gegenstandes sei T (t). Der zeitliche Verlauf der beiden Temperaturen kann durch die Differentialgleichungen
Ṫ (t) = k (S(t)-T(t)) und Ṡ(t) = m(T(t) - S(t))                        (*)

modelliert werden. Die Proportionalitätsfaktoren k und m hängen von der Wärmeleitfähigkeit und -kapazität der Flüssigkeit und des Gegenstandes ab und sind i.a. verschieden. Nach welcher Zeit hat sich ein anfänglich bestehender Temperatur-Unterschied zwischen Körper und Flüssigkeit auf die Hälfte reduziert? Wie wirkt sich Vergrößerung von k bzw. von m auf diese Zeit aus?

Hinweis: Aus beiden Gleichungen (*) lässt sich eine Differentialgleichung für die Differenz D(t) = T(t) - S(t) herleiten.
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Die Lösung ist trivial: ableiten und einsetzen:

D'(t) = (m-k) D(t) (Ableitungsstrich durch Punkt ersetzen)
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