Hier musst du ganz typisch etwas " sehen " ; in beiden Fällen nämlich erreiche ich durch eine geschickte Substitution ein LGS mit zwei Unbekannten . Beispiel a)
x := 1 / ( a + b ) ; y := 1 / ( a - b ) ( 1a )
5 x - 2 y = 4 ( 1b )
3 x - y = 5 ( 1c )
y einsetzen aus ( 1b ) in ( 1a )
x = 6 ; y = 13 ( 1d )
In ( 1d ) nehmen wir Substitution ( 1a ) zurück; abermals werden wir auf ein LGS geführt.
a + b = 1/6 ( 2a )
a - b = 1/13 ( 2b )
( 2ab ) ist der Prototyp eines LGS ; der Lösungsweg ist immer der selbe
a = aritm. Mittelwert ( 1/6 ; 1/13 ) = 19/156 ( 2c )
b = halbe Differenz ( 1/6 ; 1/13 ) = 7/156 ( 2d )
( vgl. Wolfram; die Grafik ist ja wirr . Ich habe mich schon oft gefragt, ob Wolframs KI Lösungsstrategie Ziel führend ist. )
Mit der Nr. c ) verfährst du genau so, obgleich mich dabei ein komisches Gefühl beschleicht.
x := m / ( m - n ) : y := m + n ( 3a )
7 x + 3 y = 15 * 5 | * 4 ( 3b )
9 x - 4 y = 2 * 5 | * 3 ( 3c )
Zum Einsatz kommt das Additionsverfahren ( 3b ) + ( 3c ) ; wie üblich habe ich die Umformungsschritte vermerkt.
5 * 11 x = 6 * 5 * 11 ===> x = 6 ( 3d )
( y = 11 durch Einsetzen )
Für y gestaltet sich die Chose ja einfach:
y = m + n = 11 | * 5 ( 4a )
Eine lineare Gleichung in den beiden Unbekannten m und n , die wir ja suchen. Auf x müssen wir etwas mehr Sorgfalt verwenden.
x = m / ( m - n ) = 6 | * HN ( 4b )
5 m - 6 n = 0 ===> 5 m = 6 n ( 4c )
Nach der Umformung in ( 4a ) setzt du 5 m aus ( 4c ) ein:
6 n + 5 n = 11 n = 55 ===> n = 5 ( 4d )
( und dann m = 6 aus ( 4a ) ) ( Probe im Kopf; aber Dalli hopp ! )
