Gram'sche Determinante der Vektoren

Question

Schönen Vormittag!

Ich beschäftige mich gerade mit folgendem Beispiel:

Rechnen Sie nach dass

$$ \left\| \vec { a } \times \vec { b }  \right\| ² $$

mit der Gram'schen Determinante der Vektoren a und b übereinstimmt.
Zur Vereinfachung kann  Vektor a=(a,0,0) angenommen werden.

Wie kann ich hier die Determinante berechnen?
Die Determinante kann doch nur von quadratischen Matrizen berechnet werden oder täusche ich mich?

Die beiden Vektoren würden jedoch eine 2x3 Matrix bilden...

:-)

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Schlag die Definition der Gramschen Determinante nach.

Answer 1

\(\vec{a}\) =  \( \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ,  \(\vec{b}\) = \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) ,  A = \(\begin{pmatrix} a&x\\ 0&y\\0&z\end{pmatrix}\) ,  A^T =  \(\begin{pmatrix} a&0&0\\ x&y&z\end{pmatrix}\)

Gramsche Determinante  = det(A^T • A)   =  det( \(\begin{pmatrix} a&0&0\\ x&y&z\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} a&x\\ 0&y\\0&z\end{pmatrix}\) )

 = det( \(\begin{pmatrix} a^2&ax\\ ax&x^2+y^2+z^2\end{pmatrix}\)  =  a² • (y² + z²)

 \( \begin{pmatrix} a \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\) x \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ -az \\ ay \end{pmatrix}\)

|| \( \begin{pmatrix} 0 \\ -az \\ ay \end{pmatrix}\)|| ² =  ( √ (a²z² + a²y² )²  = a²z² + a²y²  =  a² • (y² + z²)

Gruß Wolfgang

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Herzlichen Dank! :-)