Berührpunkt einer Kugel mit einer Ebene

Question

Gegeben ist die Ebene E: 5x1 + 14x2 + 2x3 +50 = 0
Die Kugel hat dem Mittelpunkt M (0|0|0)

Errechnet habe ich bereits den Radius r : 50/15 = 10/3

Wie errechne ich den Berührpunkt mit der Ebene E ?

Answer 1

E: 5·x + 14·y + 2·z = -50

Gerade der Normalen durch den Kugelmittelpunkt aufstellen

g: X = [0, 0, 0] + r * [5, 14, 2] = [5·r, 14·r, 2·r]

Das in die Ebene einsetzen und nach r lösen

5·(5r) + 14·(14r) + 2·(2r) = -50 --> r = - 2/9

X = - 2/9 * [5, 14, 2] = [- 10/9, - 28/9, - 4/9]

10/3 ist als Radius richtig.

Comments

Das ist vielleicht ein sehr später Kommentar, aber der Radius r=10/3  der Kugel entspricht ja dem Abstand des Mittelpunktes von dem Berührungspunkt.

Dann müsste doch eigentlich die Gerade des r-fachen Einheitsvektor der Normalen durch den Kugelmittelpunkt gebildet werden

Mit ihrer Rechnung hat der Radius ja gar kein Einfluss auf den Berührungspunkt oder übersehe ich hier etwas?

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Ich habe mit der Rechnung die Länge des Vektors zwischen Mittelpunkt und Berührungspunkt entspricht dem Radius  ihr Ergebnis überprüft und es ist richtig, meine Rechnung ist wohl nur eine andere Methode

Dumm von mir nicht vorher diese simple Kontrollgleichung auszuprobieren

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Es gibt oft in der Mathematik mehrere Wege etwas auszurechnen.

Eine Kugel berührt eine Ebene, wenn der Mittelpunkt der Kugel genau die Länge vom Radius von der Ebene entfernt ist. Über diesen Ansatz kann ich direkt den Radius berechnen.

Man weiß aber auch, dass die Ebene im Lotfußpunkt berührt wird, wenn man vom Kugelmittelpunkt das Lot auf die Ebene bilde. Damit kann man dann direkt den Berührpunkt ausrechnen.

Anderes Beispiel

Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Gegeben ist die Seite a und die Seite c. Man hat jetzt mehrere Möglichkeiten alles über das Dreieck zu erfahren.

a^2 + b^2 = c^2 bietet die Möglichkeit direkt b zu berechnen.

SIN(α) = a/c liefert die Möglichkeit den Winkel α zu bestimmen.

COS(β) = a/c liefert direkt die Möglichkeit Winkel β zu ermitteln.

Egal welchen weg du wählst, du erhältst dann automatisch neue Wege die noch nicht ermittelten Dinge zu berechnen.