e^x und ln(x) umkehrbarkeit

Question

der ln(x) ist ja die Umkehrfunktion zu e^x.

Ein kurzes Beispiel, um meine Frage zu verdeutlichen

e^0=1

Sinn und Zweck der Umkehrfunktion ist es ja wieder den x-Wert zu erhalten, mit dem man den Funktionswert der anderen Funktion berechnet hat.

Also ln(1)=0

Zusammengefasst:

e^x=y

ln(y)=x

Wieso ist aber ln(x) die Umkehrfunktion und nicht ln(y)?

Answer 1

Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element eines Definitionsbereichs D ein Element der Wertebereichs W zuordnet.

Wenn du die Funktion ist Koordinatensystem einzeichnest, legst du in der Regel D auf die x-Achse und W auf die y-Achse.

Beispiel f: D -> W , x ↦ y=e^x. 

Genauer meinst du hier f: R -> R^{+} , x ↦ y=e^x. 

So weit klar?

Wie willst du nun die Umkehrfunktion ins Koordinatensystem legen?

Wenn du wieder davon ausgehst, dass D auf der x-Achse und W auf der y-Achse sein soll, muss du irgendwann x und y tauschen. Ansonsten kannst du (Kopf schief halten!) am vorhandenen Graphen bereits Werte der Umkehrfunktion ablesen. 

Comments

Danke erstmal.

Nochmal zurück zu meinem Beispiel.

e^x=y

e^0=1

Umkehrfunktion

ln(x)=y       (Variablentausch)

ln(1)=0

Also ich tue quasi nur so, dass ich die Variablen tausche, damit ich die Funktion wie man es gewohnt ist ins Koordinatensystem zeichnen zu können?