Question

Für welche Werte der Parameter a, b ∈ ℝ ist die folgende Funktion f auf ℝ differenzierbar? Skizzieren Sie f für (a,b) = (2,2) und (a,b) = (1,2)

a) f(x) =

{ x²+ax+b für x > 0

{ 1 + e^2x sonst.

b) f(x) =

{ ax² + x + b für x > 0

{ 1 + e^2x sonst.

Answer 1

a)

f(x) =

{ x²+ax+b für x > 0 

{ 1 + e^2x   .   für x ≤ 0

Auf ℝ \ {0} ist die Funktion differenzierbar mit

f '(x) =

{ 2x+a    für x > 0   

{  2e^2x   .für x < 0

Wenn f in x=0 diff 'bar sein soll, muss f stetig in 0 sein: 

→    lim_x→0+  f(x) = b = 2 = lim_x→x0- 

Außerdem muss  lim_x→0+  f '(x) =   lim_x→0-  f '(x),  also  a = 2  gelten.

f(x) = { x² + 2x + 2 für x>0

          {  1 + e^2x      für  x≤0

b) kannst du analog machen, 

hier klappt das das mit den gleichen Grenzwerten bei f ' nicht, deshalb ist f für keine Wahl von a und b  differenzierbar

Gruß Wolfgang