Bestimme das Parallelogramm mit dem kleinsten Flächeninhalt.

Question

Ein Rechteck mit den Seitenlängen 8cm und 5cm wird ein Parallelogramm P einbeschrieben indem man von jedem Eckpunkt des Rechtecks aus im Uhrzeigersinn eine glich lange Strecke abträgt. Bestimme das Parallelogramm mit dem kleinsten Flächeninhalt.

Hinnweis: Stelle einen Term für den Flächeninhhalt des Parallelogramms auf, indem du von dem Flächeninhalt des Rechtecks die Flächeninhalte von vier dreiecken subtrahierst.

Answer 1

Die von  jedem Eckpunkt des Rechtecks aus im Uhrzeigersinn abgetragene gleich lange Strecke habe die Länge x. Die abgaschnittenen Dreieck haben die Flächeninhalte: x ·(8-x)/2 (zweimal)
und x·(5-x)/2 (zweimal).
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann F(x) = 40 - x·(8-x)-x·(5-x).
Ausmultiplizieren, Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen. Einzige Lösung x= 13/4. Da ein Minimum gesuch ist, muss es dies sein.