Offene und Abgeschlossene Teilmengen

Question

Welche der folgenden Teilmengen in ℝ sind offen, welche abgeschlossen?
Α=[-2,0[∪]0,2]

B=]-1,∞[ 

C= {0}∪{e‾ⁿ| n∈ℕ}

Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe, geht mir hierbei vor allem um die Teilmenge A.

Die B ist offen, bei der C bin ich der Meinung, dass die Menge abgeschlossen ist.
Bei der A bräuchte ich Hilfe. Die beiden Mengen sind halbabgeschlossen, durch die Vereinigung bin ich der Meinung, dass die Teilmenge abgeschlossen ist. Ist meine Annahme richtig und wie begründe ich diese am besten?
A= [

Answer 1

Normalerweise sieht man an der begrenzenden Klammer, ob eine Menge abgeschlossen ist oder offen. Es gibt aber Ausnahmen, um die es hier offensichtlich geht. So sind die Mengen [-2,0[ und ]0,2] jede für sich offen. Die Vereinigung [-2,0[∪]0,2] enthält alle Zahlen der abgeschlossenen Menge [-2, 2] aber nicht die 0. Dort hat sie meiner Meinung nach eine offene Stelle und müsste daher "offen" genannt werden.
 Für die Darstellung der Menge B ist es egal, wie die Klammer hinter ∞ steht. Ihre offene Seite liegt bei -1. B ist also offen.
Bei C ist n aus ℕ und nicht aus ℝ. daher ist C meiner M.einung nach offen

Answer 2

offen heißt:  zu jedem x aus der Menge gibt es eine ganze Umgebung,

die in der Menge liegt. Das ist bei A nicht der Fall, weil 2 in A

aber jede Umgebung von 2 Elemente außerhalb von A enthält.

Abgeschlossen heißt IR \ A ist offen. Das ist auch nicht der Fall,

da 0 in IR \ A liegt, jede Umgeb. von 0 aber Elemente aus A enthält.

A ist also weder abg. noch offen.

B offen und nicht abg.

C weder offen ( ekeine Umgeb. von e enthält nur El. von C)

nocht abg. ; denn Jede Umgeb. von 0 enthält ein El. von C.

Comments

Ok,vielen Dank für die schnelle Antwort. Hilft mir schon mal sehr viel weiter.