Punktweise Konvergenz einer Funktion zeigen

Question

wir haben eine Aufgabe bekommen wo wir Funktionen fn,f :[0,1] →ℝ betrachten sollen für n ∈ ℕ, n ≥ 2

\( f n(x)=\left\{\begin{array}{ll}{n^{2}} & {\text { für } 0 \leq x \leq 1 / n} \\ {n^{2}\left(\frac{2}{n}-x\right),} & {\frac{1}{n}<x \leq \frac{2}{n} \text { und } f(x)=0 \text { für } x \in[0,1]} \\ {0,} & {\frac{2}{n}<t \leq 1}\end{array}\right. \)

Wir sollen zeigen das fn(x) punktweise konvergiert aber nicht gleichmäßig. Für punktweise Konvergenz muss ich zeigen, dass der lim n→∞ fn = f ist.

Aber wenn ich den lim n→∞ n^2 * x bilde finde ich nur für 0 den Grenzwert, für x größer Null, kleiner 1/n finde ich ihn nicht. Schuldigung falls das blöd rüberkommt, aber ich komm hier nicht weiter.

Comments

Wollte nur noch hinzufügen, das oben bei n^2, n^2 * x stehen soll

und unten 2/n < x und nicht 2/n < t

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Dieses "und f(x) = 0 für x ∈ [0,1] " in der mittleren Zeile ist problematisch. Was hat das da zu suchen?

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Schuldigung, das f(x) = 0 für x in [0,1] steht außerhalb der Zeilen, also eine Zusatzbemerkung

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Ahja ich hab es so gelesen, dass es noch in der Fallunterscheidung mit drin steht und nicht danach.

Klar, dass ist die Grenzfunktion.

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Ja, also ich wenn ich mir die Funktion zeichne, dann sieht sie ja aus wie ein "Berg" von 0 bis 2/n und von 2/n bis 1 eben die Nullfunktion.

Was ich nicht verstehe ist, dass jetzt jeder Punkt auf diesem Beg für n gegen unendlich in die Nullfunktion übergeht. Meine Geraden welche den Berg "aufbauen" werden doch steiler mit größerem n und gehen in die y-Achse über?

Answer 1

aber dieser Berg wird immer weiter schmaler und nach links geschoben. Nimm dir ein festes \( x \in (0,1] \) (der Fall \(x=0\) ist ja klar).

Dann gibt es ein \(m \in \mathbb{N} \), so dass \(\frac{2}{m} < x\) für \(n \geq m \). Ab diesem \(m\) gilt dann ja auch \(f_n(x) = 0\).

Gruß

Comments

Also ja der Berg wird immer "schmaler" und verschwindet irgendwann "in die y-Achse"

Aber wie zeige ich "mathematisch"  lim n gegen unendlich fn(x)  = f(x)

Muss ich dazu nicht den Limes für jede Zeile bestimmen? Wenn ja, dann würden doch meine ersten beide Zeilen für n gegen unendlich bestimmt divergieren, während die 3. Zeile sowieso null ist.

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Der Beweis steht schon in der Antwort. Der letzte Satz bedeutet insbesondere auch (bezogen auf das was vorher steht), dass für alle \(x \in [0,1]\) gilt: \( \lim \limits_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \).

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Achso, und weil du dieses 2/m (ich versteh das als das rechte Ende des Berges) beliebig klein wählen kannst (außer m = 0) und für m = 0 der Fall schon klar ist, hab ich alles gezeigt was zu zeigen ist, oder?

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Für m=0 ist gar nichts klar, diesen Fall gibt es auch gar nicht. Wenn dann meinst du hoffentlich x=0.Gegenfrage: Warum ist der Fall denn so klar?

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Weil für x= 0 fn(x) = 0 ist für die 1. Zeile. Alles was rechts davon ist bis zum 2/n wird für n gegen unendlich null, da der Berg immer schmaler und schmaler wird, alles was nach 2/n ist, ist per def. 0. Also ist für n gegen unendlich fn(x) = 0 = f(x)