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Aufgabe:

Sei fn : [0,2]R,fn(x)={n2xfalls 0x1n2nn2xfalls 1n<x2n0falls x>2n\displaystyle f_n:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, f_n(x)=\begin{cases} n^2x & \text{falls}\space 0\leq x\leq\frac{1}{n}\\ 2n-n^2x & \text{falls}\space\frac{1}{n}<x\leq\frac{2}{n}\\ 0 & \text{falls}\space x>\frac{2}{n}\end{cases}.
Beweisen Sie, dass (fn)\displaystyle (f_n) punktweise gegen eine Riemann-integrierbare Funktion f : [0,2]R\displaystyle f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R} konvergiert und bestimmen Sie diese. Beweisen Sie limn02fn(x)dx02f(x)dx\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)dx\neq\int_0^2f(x)dx.


Problem/Ansatz:

fn(x)f(x)<ϵ\displaystyle|f_n(x)-f(x)|<\epsilon für nN,NN\displaystyle n\geq N, N\in\mathbb{N} muss für punktweise Konvergenz gelten, nur weiß ich nicht wie ich das hier zeigen soll. Zudem ist limnfn(x)={xfalls 0x0xfalls 0<x 00falls x>0\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases} \infty x & \text{falls}\space 0\leq x\leq 0\\ \infty -\infty x & \text{falls}\space 0<x\leq\ 0\\ 0 & \text{falls}\space x>0\end{cases}, was mir irgendwie falsch erscheint.

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x[0,2] n0N : fn(x)=0 n>n0fn0\forall x \in [0,2]\ \exists n_0 \in \mathbb{N}: f_n(x) = 0\ \forall n > n_0 \Rightarrow f_n \to 0

Also ist die Grenzfunktion die Nullfunktion, diese ist bekanntlich Riemann-integrierbar mit Wert 0

Allerdings gilt: 02fndx=01nn2xdx+1n2n(2nn2x)dx=(n2x22)01n+(2nxn2x22)1n2n=12+(42)(212)=1 nN \int_0^2 f_n \mathrm{dx} = \int_0^{\frac{1}{n}} n^2x \mathrm{dx} + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}(2n - n^2x) \mathrm{dx} = (\frac{n^2x^2}{2})|_0^{\frac{1}{n}} + (2nx - \frac{n^2x^2}{2})|_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} = \frac{1}{2} + (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) = 1\ \forall n \in \mathbb{N}

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