Question

Seien A,B und C Mengen und f : A → B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie:

c) Ist g◦f bijektiv, so ist g surjektiv und f injektiv.

d) Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass g ◦f bijektiv sein kann, ohne dass f oder g es sein müssen.

??? bitte um hilfeee

Answer 1

c)  Nachweis für g surjektiv:

Sei z aus C. Dann ist zu zeigen:  Es gibt ein y aus B mit g(y)=z.

Da gof surjektiv ist, gibt es ein x aus A mit (gof)(x) = z

also  g( f(x) ) = z wobei f(x) das gesuchte y ist.    q.e.d.

f injektiv:

seien  x1 und x2 aus A mit f(x1)=f(x2) , dann ist zu zeigen x1 = x2.

Da f(x1)=f(x2) und g eine Abbildung ist, ist g( f(x1)) = g(f(x2)).

also  ( gof) (x1) = (gof) (x2)

Da gof injektiv ist, ist dann auch x1 = x2 .    q.e.d.