Steckbriefaufgabe: Gibt es eine Parabel 3. Ordnung durch A ( 0| -2), die in W ( 2|0) einen Wendepunkt...

Question

Kann mir das bitte einer schrittweise und möglichst einfach erklären?

Gibt es eine Parabel 3. Ordnung durch A ( 0| -2), die in W ( 2|0) einen Wendepunkt und für x = 3 eine Maximumstelle hat?

Answer 1

Hi!

bei a.)

Es wird gesagt, dass der Graph den Ursprung berührt.  Berührt ein Graph die x-Achse und schneidet sie nicht, liegt dort eine doppelte Nullstelle vor.

Die Funktion eines Polynoms mit einer doppelten Nullstellen bei 0 ist f(x)=x²(ax+b)=ax³+bx²

Du hast die Bedingungen:

f(-3|0)

f '(-3)=6    -> An der Stelle -3 ist der Graph parallel zur Geraden mit der Steigung 6. Die Steigung in -3 des Graphen ist also auch 6.

Beide Bedingungen setzt du jetzt in die Funktion  f(x)=ax³+bx² und in die Ableitung f'(x)=3ax²+2bx ein. Du erhältst:

-27a+9b=0

27a-6b=6

Das Lgs löst du und erhältst für

a=2/3 und b=2

Deine Funktion ist also

f(x)= 2/3x³+2x²

Wie ich auf die Funktion mit der doppelten Nullstellle gekommen bin, ist vielleicht schwer nachzuvollziehen.

Und hier noch der Graph:

~plot~2/3*x^3+2x^2;~plot~