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Eine Parabel 3. Ordnung berührt im Ursprung die x Achse. Die Tangente in P (-3/0) verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung g(x) = 6x + 1/2

Gesucht: Funktionsgleichung
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Allgemeine Form einer Parabel 3. Ordung:

f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d

Laut Aufgabenstellung gilt:

1)

f ( 0 ) = 0

also:

a * 0 3 + b * 0 2 + c * 0 + d = 0

<=> d = 0

2)

f ( - 3 ) = 0

also (weil d = 0 ):

a * ( - 3 ) 3 + b * ( - 3 ) 2 + c * ( - 3 ) + 0 = 0

<=> - 27 a + 9 b - 3 c = 0

3)

f ( x ) hat an der Stelle - 3  die Steigung 6  ( das ist die Steigung der Geraden , zu der die Tangente parallel sein soll, also zunächst die erste Ableitung von f bestimmen: 

f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c

und dort - 3 einsetzen. Der Funktionswert muss 6 sein also:

f ' ( - 3 ) = 3 a ( - 3 ) 2 + 2 b ( - 3 ) + c = 6

<=> 27 a - 6 b + c = 6

4)

Da f ( x ) die x-Achse im Ursprung berührt, muss f dort eine horizontale Tangente haben, es muss also gelten:

f ' ( 0 ) = 0

also:

f ' ( 0 ) = 3 a ( 0 ) 2 + 2 b ( 0 ) + c = 0

<=> c = 0

 

Einsetzen in die Gleichungen zu 2 ) und 3) :

- 27 a + 9 b - 3 * 0 = 0

27 a - 6 b + 0 = 6

Additionsverfahren: Zweite Gleichung + erste Gleichung:

<=> 0 a + 3 b = 6

<=> b = 2

Einsetzen in die Gleichung zu 2)

- 27 a + 9 * 2 = 0

a = 18 / 27  =  2 / 3

 

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:

f ( x ) = ( - 2 / 3 ) x 3 + 2 x 2 

Hier ein Schaubild des Graphen von f sowie der zu g parallelen Tangente im Punkt ( - 3 | 0 ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2F3%29x^3%2B2x^2+%2C+6x%2B%2818%29+from-4to2+

Man erkennt, dass die Vorgaben erfüllt sind.

Avatar von 32 k
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Eine Parabel 3. Ordnung berührt im Ursprung die x Achse. Die Tangente in \(P (-3|0)\) verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung \(g(x) = 6x +  \frac{1}{2} \)

\(f(x)=a•x^2(x+3)\)

\(f´(x)=a•[2x(x+3)+x^2*1]\)

\(f´(-3)=a•[2•(-3)•((-3)+3)+(-3)^2]=a•[9]\)

\(a•[9]=6\) →  \(a=\frac{2}{3}\)

\(f(x)=\frac{2}{3}x^2(x+3)\)

Unbenannt.JPG

Avatar von 38 k

Ist dieser Kaffee auch schon über 9 Jahre alt,

so bleibt er warm, wird nicht völlig kalt,

dank Moliets, den Gott uns noch lang erhalt! :)

Ich denke immer bei der Lösung von Aufgaben:

In der Kürze liegt die Würze.

Worauf du lassen kannst einen deiner Fürze

aber nur mit einer vorher angelegten Abschirmschürze,

damit niemand vom Gestank ins Koma stürze,

aus dem er vlt. nicht mehr wird erwachen,

oder ihm zumindest vergeht das Über-Fürze-Lachen. :)

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