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Eine Parabel 3. Ordnung berührt im Ursprung die x Achse. Die Tangente in P (-3/0) verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung g(x) = 6x + 1/2

Gesucht: Funktionsgleichung
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Allgemeine Form einer Parabel 3. Ordung:

f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d

Laut Aufgabenstellung gilt:

1)

f ( 0 ) = 0

also:

a * 0 3 + b * 0 2 + c * 0 + d = 0

<=> d = 0

2)

f ( - 3 ) = 0

also (weil d = 0 ):

a * ( - 3 ) 3 + b * ( - 3 ) 2 + c * ( - 3 ) + 0 = 0

<=> - 27 a + 9 b - 3 c = 0

3)

f ( x ) hat an der Stelle - 3  die Steigung 6  ( das ist die Steigung der Geraden , zu der die Tangente parallel sein soll, also zunächst die erste Ableitung von f bestimmen: 

f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c

und dort - 3 einsetzen. Der Funktionswert muss 6 sein also:

f ' ( - 3 ) = 3 a ( - 3 ) 2 + 2 b ( - 3 ) + c = 6

<=> 27 a - 6 b + c = 6

4)

Da f ( x ) die x-Achse im Ursprung berührt, muss f dort eine horizontale Tangente haben, es muss also gelten:

f ' ( 0 ) = 0

also:

f ' ( 0 ) = 3 a ( 0 ) 2 + 2 b ( 0 ) + c = 0

<=> c = 0

 

Einsetzen in die Gleichungen zu 2 ) und 3) :

- 27 a + 9 b - 3 * 0 = 0

27 a - 6 b + 0 = 6

Additionsverfahren: Zweite Gleichung + erste Gleichung:

<=> 0 a + 3 b = 6

<=> b = 2

Einsetzen in die Gleichung zu 2)

- 27 a + 9 * 2 = 0

a = 18 / 27  =  2 / 3

 

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:

f ( x ) = ( - 2 / 3 ) x 3 + 2 x 2 

Hier ein Schaubild des Graphen von f sowie der zu g parallelen Tangente im Punkt ( - 3 | 0 ):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2F3%29x^3%2B2x^2+%2C+6x%2B%2818%29+from-4to2+

Man erkennt, dass die Vorgaben erfüllt sind.

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