Zeige wie die Lösung aussieht bei der Wellengleichung

Question

Sei\(u:\mathbb{R}x\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) mit \((x,t)\rightarrow u(x,t)\) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und c>0 eine Konstante. Wir betrachten die sogenannt Wellengleichung gegeben durch

\(\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}\)= \(c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)

a.) Zeige: Sind f,g : \(\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) zweimal stetig diffbare Fkt, so ist

$$u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$ eine Lösung der Wellengleichung.

b.) Zeige: Ist u(x,t) eine zweimal stetige differenzierbare Lösung der Wellengleichung, so ist u notwendig von der Form:

$$u(x,t)= f(x+ct)+g(x-ct)$$

a.) konnte ich lösen bei b.) finde ich keinen Ansatz.

Answer 1

Setze $$u(x,t)=U(\xi,\eta)\quad\text{mit$\quad\xi=x+ct\quad$und$\quad\eta=x-ct$}.$$ Dann die Ableitungen von \(u\) durch die Ableitungen von \(U\) ausdruecken und in die Wellengleichung einsetzen. So aehnlich hab ich das in Erinnerung, probier's aus.

Comments

Wie zeige ich dann aber, dass

\(\frac{\partial ^2U}{\partial\eta\partial\xi}=0\) falls  es die Wellengleichung erfüllt?

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Wenn Du schon was gerechnet hast (z.B. u_xx und u_tt) und das kommentiert haben moechtest, dann muesstest Du Deine Resultate hier erstmal aufschreiben.