Nachweis einer Metrik, (M3)

Question

Sei d eine beliebige Metrik auf ℝ. Dann ist auch \( d' = \frac { d(x,y) }{ 1 + d(x,y) } \) eine Metrik.

Mein Beweis:

M1 Positive Definitheit: Da d eine Metrik ist, folgt die positive Definitheit für d'. Gleichheit gilt bei d(x,y) = 0 <=> x=y, also d' >= 0

M2 Symmetrie: Da d eine Metrik ist, gilt d(x,y) = d(y,x), also auch d'(x,y) = d'(y,x).

M3 Dreiecksungleichung: Hier habe habe Probleme. Nach einem Beispiel aus einem Buch bin ich folgendermaßen vorgegangen:

\( d'(x,z) + d'(z,y) = \frac { d(x,z) }{ 1 + d(x,z) } + \frac { d(z,y) }{ 1 + d(z,y) } \) \( =...= \) \( \frac {d(x,z) +2d(x,z)d(z,y) + d(z,y)}{ (1 + d(x,z))(1+d(z,y)) } \)

Jetzt komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie und ob es weiter geht. Kann jemand helfen ?

Comments

Ich würde anders herum anfangen:

$$ d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\leq\frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)} =  \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)} \leq \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}+\frac{d(z,y)}{1+d(z,y)}=d'(x,z)+d'(z,y)  $$