Nachweis der Metrik Eigenschaften

Question

Seien (X_j,d_j) metrische Räume und X = π_j∈J  X_i  sowie

d(f,g) = sup {min(d_j(f_j,g_j), 1, j∈J}

Zeige d ist eine Metrik auf X.

Comments

Stehe ich einfach auf dem Schlauch oder "macht die Notation wirklich keinen Sinn"?

Ich weiß nicht wie ich die verstehen soll. Supremum und Infimum über j aus J zu betrachten macht ja keinen Sinn.

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Doch die Notation ist so korrekt, ausser dass ich ich eine Klammer vergessen habe:

Seien (X_j,d_j) metrische Räume und X = π_j∈J  X_j  sowie

d(f,g) = sup {min(d_j(f_j,g_j), 1), j∈J}

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Ok, gut. Stand nur mal wieder auf dem Schlauch. Was aber genau sollen f ungefähr sein? Klar, die sind aus X. Aber was genau ist X? Soll das dir Vereinigung der X_i sein? 

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X ist das Produkt aller X_{j .} Das sollte das π bedeuten. Sry

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Macht nichts, ich wusste es einfach nur nicht. Wie genau sieht denn ein Element aus dem Produkt aus? Mir kommt das gerade nicht bekannt vor. Es muss ja einen Zusammenhang geben zwischen 

f_j und f.

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Markus meint vermutlich eine (noch beliebige) Indexmenge J, sowie metrische Räume

$$((X_j,d_j))_{j \in J} $$

Als X wird vermutlich das kartesische Produkt definiert:

$$ X:= \prod_{j\in J} X_j$$

Die Elemente haben dann die Form

$$ X \ni f = (f_j)_{j\in J} $$ wobei \( f_j \in X_j ~~ \forall j \in J \).

Es wird die Abbildung

$$ d(f,g):= \sup \lbrace \min( d_j (f_j,g_j),1)  | j \in J \rbrace $$

definiert.

Answer 1

Ok, habe es nun verstanden.

Definitheit:

Sei d(f,g)=0.

Somit muss das Supremum 0 sein. Das wiederum bedeutet aber, dass d_j(f_j,g_j)=0 sein muss für ein j. Das ist aber nur dann der Fall, wenn f_j=g_j ist, also f=g. Damit hast du schon mal eine Inklusion gezeigt. 

Wie kann man bei der anderen vorgehen?

Symmetrie:

Zu zeigen ist, dass d(f,g)=d(g,f) ist. Das folgt eigentlich direkt. Wieso?

Dreiecksungleichung:

Zu zeigen ist, dass d(f,h+g) ≤ d(f,h) + d(f,g) gilt. Schau dir einfach mal an wie d(f,h+g) definiert ist und welche Abschätzung du direkt machen kannst.

Comments

Kleine Verbesserung bei der Definitheit: alle f_j und g_j müssen gleich 0 sein, da wir ja das Supremum betrachten.