Beweisen Sie, dass aus A=T^{-1}·B·T folgt, dass A^k=T^{-1}·B^k·T für k∈ℕ gilt

Question

Sei K ein Köper und A, B, T ∈ M(n, n, K) mit T invertierbar. Beweisen Sie, dass aus A = T^{-1}·B·T folgt, dass A^k = T^{-1}·B^k·T für k ∈ ℕ gilt.

Comments

Gemeint ist wohl immer noch A = ((11)(10)) aus: https://www.mathelounge.de/34617/fibonacci-beweisen-sie-fur-k≥1-die-folgende-gleichung-uk-uk
Oder?

Answer 1

Beweis über vollständige Induktion

A^k = T^-1 * B^k * T

Für k = 1 ist das ganze laut Vorbedingung erfüllt. Nun muss ich nur noch zeigen das es für k+1 gilt wenn es auch für k gilt.

A^{k+1} = A^k * A
A^{k+1} = (T^-1 * B^k * T) * (T^-1 * B * T)
A^{k+1} = T^-1 * B^k * (T * T^-1) * B * T
A^{k+1} = T^-1 * B^{k+1} * T

Das war zu zeigen.