Aufgabe:
Für einen Körper K betrachten wir die Gruppe Aut(K) der Automorphismen von K, d.h. der
invertierbaren Körperhomomorphismen φ : K → K.
(a) Ist P ⊆ K der Primkörper, und ϕ ∈ Aut(K), so gilt φ|P = idP .
(b) Bestimmen Sie Aut(ℚ) und Aut(ℝ).
Hinweis: Zur Bestimmung von Aut(ℝ) verwenden Sie gerne, dass ℚ ⊆ ℝ eine dichte Teilmenge ist (d.h. jede ε-Umgebung einer reellen Zahl enthält eine rationale Zahl). Zeigen Sie außerdem, dass jeder Automorphismus φ ∈ Aut(ℝ) monoton wachsend (oder besser: stetig) ist.
(c) Geben Sie alle stetigen Automorphismen von ℂ an.
Bemerkung: nicht-stetige Automorphismen von ℂ heißen auch „wild “.
