Warum gilt: unbestimmtes Integral( f(x)/g(X) =Ln(g(x)) falls f(x) = g'(x)? Wie kann man das Beweisen?

Question

Hallo

Warum gilt: unbestimmtes Integral( f(x)/g(X) =Ln(g(x)) falls f(x) = g'(x)? Wie kann man das Beweisen?

Danke

Answer 1

p(x) = ln (g(x))

⇒ p'(x) = g'(x) · 1/g(x) weil ln'(x) = 1/x und Kettenregel

⇒ p'(x) = g'(x)/g(x) wegen Bruchrechenregeln

⇒ p'(x) = f(x)/g(x) weil f(x) = g'(x)

⇒ ∫p'(x) = ∫ f(x)/g(x) dx

⇒ p(x) = ∫ f(x)/g(x) dx wenn man über den Notationsmissbrauch hinwegsieht.

⇒ ln (g(x)) = ∫ f(x)/g(x) dx