Fläche zwischen Kurve und Tangente im Hochpunkt?

Question

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen Kurve mit der Gleichung y=x^4/4-2x^2+1 und der Tangente im Hochpunkt.

Answer 1

Hi!

f(x)=x⁴/4-2x²+1 

f '(x)=x³-4x 

f ''(x)=3x²-4 

Hochpunkt berechnen:
f '(x)=x³-4x =0  

      -> x(x²-4)=0

Satz des Nullprodukts: x1=0 

x²-4=0           |+4

x² =4            |√

x= ±2

hnreichende Bedingung:

f ''(x1)=3*0²-4 =-4  -> HP

Hochpunkt bei (0|1)

Tangentengleichung:

y=1

Funktion f ist achsensymmetrisch weshalb es reicht die eingeschlossene Fläche im 1. Quadranten zu betrachten:

Schnittpunkte von 1 und f(x) ->

1=x⁴/4-2x²+1 

bringt √8

Der Flächeninhalt ist also:

2* ∫₀√8   1-f(x) dx=    12,068  FE

~plot~ 0,25x^4-2x^2+1 ;1 ~plot~

Comments

Danke und setzt man die Gleichung dann immer 1?

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Man setzt die Funktionsgleichung gleich der Tangentengleichung, die hier y=1 ist.