Schursche normalform Rezept

Question

Ich muss die schursche normalform einer matrix bestimmen, jedoch war ich letzte Woche krank und weiß daher nicht wie man das macht. Habe bis jetzt den eigenwert der matrix herausgefunden

Answer 1

Hier ist der Algorithmus beschrieben und auch ein Beispiel. Wenn Du Probleme bei einem speziellen Beispiel hast, poste es doch.

https://de.wikipedia.org/wiki/Schur-Zerlegung

Comments

Also ich habe diese Aufgabe. Was muss ich jetzt alles machen? Also Eigenwerte und eigenvektoren.  Und dann?

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Also die Eigenwerte sind 1 und 4. Der Eigenvektor zum Eigenwert 4 ist $\begin{pmatrix} 4\\1\\0 \end{pmatrix}$
Vektoren die zu diesem Eigenvektor linear unabhängig sind sind z.B. $\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$
Also sieht die Matrix $V_1$ folgendermaßen aus $$V_1 = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$ Es gilt
$$V_1^{-1} A V_1 = \begin{pmatrix} 4 & \frac{1}{4} & -\frac{7}{4} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Damit hat man schon die obere Dreiecksmatrix konstruiert

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Ich habe noch eine bisschen blöde frage aber wie bist du auf den eigenvektoren zum eigenwert 4 gekommen?

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Du bekommst die Gleichungen

$$(1) \quad 5x - 4y - 3z = 4x$$

$$(2) \quad x - \frac{3}{4}z = 4y$$

$$(3) \quad z = 4z$$

Aus (3) folgt $z = 0$ und damit aus (2) $x = 4y$

Wähle $y = 1$ dann folgt $x = 4$

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Ist mit der Dreiecksmatrix die Schursche Normalform schon bestimmt oder folgen noch weitere Schritte?

Und warum kann man hier auf eine Orthonormalbasis verzichten?

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Die Schur Zerlegung ist hier beschrieben https://de.wikipedia.org/wiki/Schur-Zerlegung und da ist auch beschrieben das keine Orthonormalbasis gefordert ist.

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Danke. Noch eine Frage: Wenn ich eine 3x3 Matrix habe, bei der alle 3 EWe gleich sind, kann ich dann dreimal denselben EV in V1 schreiben und wie oben vorgehen?

Konkret geht es um die Matrix

-2  -6   0

 -2  -4  -4

  1   4   0

Mit dem dreifachen Eigenwert -2

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Wie mache ich das dann hier?

$$B= \begin{pmatrix} -2& 3 & 3 \\ 0 & -2 &-2 \\ 0 & 0& -2\end{pmatrix}$$

Ich habe fürdie EIgenwerte $$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 = -2$$

Jetzt muss ich (laut Wikipedia) einen EIgenwert finden (hier

 $$\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$$

 und dann eine Basis dazu bauen

$$V_1 =\begin{pmatrix} -2&1&0\\ 0&0&1 \\1&0&0 \end{pmatrix}$$

Mit $$V_1^{-1} \cdot B \cdot V_1$$ findet man dann$$\left(\begin{matrix} -2&1&4\\ 0&0&2 \\0&-2&-4 \end{matrix}\right)$$ da soll man durch die linke unter Matrix betrachten$$\left(\begin{matrix} 0&2\\ -2&-4 \end{matrix}\right)$$ und dazu dann $$V_2$$ so wie $$V_1$$  bauen. hier: $$V_2 = \left(\begin{matrix} -2 &0&0\\ 0&1&1 \\16-1&0 \end{matrix}\right)$$ nur wenn ich das und $$V_1^{-^1}$$ auf B anwende bekomme ich immer

$$\left(\begin{matrix} -2&3&3\\ 0&-1 &-1 \\0&1&-3 \end{matrix}\right)$$ heraus, was eben nicht der Schurschen Normalform mit den EW auf der Diagonalen entspricht. Habe ich irgendwo einen Denkfehler oder habe ich einen Schritt vergessen?

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Hi,

erstens ist B schon eine obere Dreiecksmatrix, da brauchst Du also nichts mehr zu machen und der Eigenvektor zum Eigenwert -2 stimmt auch nicht, wie man durch nachrechnen kontrollieren kann.