untersuche auf stetigkeit, begründe welche stellen die definitionsmenge beiden funktionen nicht differenzierbar sind

Question

Betrachte die folgenden Funktionen f und g mit

               x² - 3, falls x<2                                                           x² - 1 , falls x ≥ - 1

ƒ (x) =                                                                          g (x) =

                2/x    ,falls x ≥ 2                                                           x + 1 , falls x < -1

a) Bestimme  ID _f   und ID_g

b) Untersuche f und g auf Unstetigkeitsstellen

c) Begründe, an welchen Stellen ihrer Definitionsmenge die beiden Funktionen nicht differenzierbar sind .

Answer 1

a) Problem wäre allenfalls x=0 bei f, aber der Term mit 2/x gehört zum Bereich x≥2, also x>0.

Deshalb bei beiden  D = IR.

b) Hier könnten höchstens die Stellen des  "Zusammenflickens" problematisch sein. Bei

f also die Stelle x = 2  aber  x^2 -3 liefert für x gegen 2 den Wert 1

und 2/x auch und der Funktionswert f(2) ist auch gleich 1. Also alles stetig

Bei g die Stelle x=-1  dort sind beide Grenzwerte und der Funktionswert 0,

also auch stetig.

c) alles differenzierbar außer den o.g. Problemstellen.

Bei f also x=2   linksseitig f ' (x) = 2x  rechtsseitig f ' (x) = -2 / x^2

bei x=2 also von rechtskommend Ableitung -1/2  und von links 4, also dort

nicht diffb.

bei g von links g(x) = 1  und von rechts g '(x) = 2x

also bei x=-1 auch nicht diffb.