Taylorpolynom für Integralfunktion berechnen

Question

Hi,

bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Berechnen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung für

$$ f(x)\quad =\quad x\cdot \int _{ 0 }^{ 2x }{ exp({ t }^{ 2 } } )dt $$

Das einzige, was wir in der Übung hatten (ähnliche Aufgabe), war einfach die Funktion im Integral abgeleitet und dann einfach in die Formel für's Taylorpolynom eingesetzt. Nun irritiert mich jetzt das x vor dem Integral.

Wie geht man jetzt da vor? Stehe irgendwie aufm Schlauch. Produktregel?

Answer 1

ich würde auch die Funktion im Integral durch das Taylorpolynom annähern, das x davor stört nicht:

x*∫₀^2x e^{t^2}dt≈x*∫₀^2x (1+t^2+1/2*t^4)dt=x*[t+1/3t^3+1/10t^5]|₀^2x=x*[2x+8/3x^3+32/10x^5]=2x^2+8/3x^4+16/5x^6

Da du nur bis Terme dritter Ordnung beachten sollst, gilt 2x^2+8/3x^4+16/5x^6≈2x^2

T_f (x) =2x^2

Comments

Hi,

wie kommst du auf die Annäherung

1+t²+1/2*t⁴

Ich dachte, wenn man eine Funktion mit Taylor annähern will, muss man nur das Polynom xten Grades aufstellen?

Wohin verschwindet bei dir das e?

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Die Formel für das Talorpolynom n-ten Grades lautet: T_f(t)=∑_k=0ⁿ  f'(t₀)/k! *(t-t₀)^k

Zu untersuchen war die die Funktion im Integral, also f(t)=e^{t^2}. Als Entwicklungsstelle t₀ habe ich Null gewählt und als Grad n=4

--> T_f(t)=∑_k=0 ³  f'(0)/k! *t^k

f(0)=1

f'(t)=2*t*e^{t^2} -> f'(0)=0

f''(t)=2*e^{t^2}*(2t^2+1) ->f''(0)=2

f'''(t)=4*e^{t^2}*(2t^3+3t) -> f'''(0)=0

f''''(t)=4*e^{t^2}*(4t^4+12t^3+3) ->f''''(0)=12

Also T_f(t)=1+t^2+1/2*t^4

Die e^{t^2}-Funktion wurde somit zu einem Polynom angenähert