Skalarprodukt matrix zeigen

Question

Hallo kann  mir jemand helfen

Aufgabe:

Es sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{\mathrm{R}^{3}} \) das Standardskalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{3} \) und \( A=\left(\begin{array}{ccc}{2} & {0} & {-1} \\ {0} & {2} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right) \)

a) Zeigen Sie, dass folgende Abbildung ein Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{3} \) definiert:
$$ \begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle_{A}: \mathbb{R}^{3} & \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \\ (\underline{x}, \underline{y}) & \mapsto\langle\underline{x}, A \underline{y}\rangle_{\mathbb{R}^{3}} \end{aligned} $$
b) Wir betrachten den \( \mathbb{R}^{3} \) mit Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{A} . \) Orthonormalisiermalisieren Sie die Vektoren
\( \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \) mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren.

Answer 1

Aufgabe a)

zu zeigen sind die Eigenschaften eines  Skalarproduktes (auf einem reellen Vektorraum)

Linearität: Seien x,y,z ∈ ℝ^3, a∈ℝ; <x,y>':=<x,Ay>

<x+z,y>'=<x+z,Ay>=(x+z)^T*Ay=(x^T+z^T)*Ay=x^T*Ay+z^T*Ay=<x,Ay>+<z,Ay> =<x,y>'+<z,y>'

<a*x,y>'=<a*x,Ay>=a*<x,Ay> =a*<x,y>'

Symmetrie: <x,y>'=<x,Ay>=x^T*Ay=x^T A^T y=(Ax)^T y=(y^T Ax)^T=<y,Ax>^T=<y,Ax>=<y,x>'

Hierbei wurde benutz, dass A symmetrisch ist (A=A^T) und die Rechenregel (Ax)^T=x^T A^T

positive Definitheit:

<x,x>'=<x,Ax>=x^T Ax>=0, weil die Matrix positiv definit ist.

Die positive Definitheit kann mithilfe der Eigenwerte von A gezeigt werden, diese sind alle größer Null (die Gleichheit mit Null gilt nur für den Nullvektor)

<x,x>'=0

<x,x>'=<x,Ax>=x^T Ax> 0 für alle x≠0

Für x=0 : 0^T* A*0=0

Alle EIgenschaften sind also erfüllt--> <x,y>' ist ein Skalarprodukt