Differentialgleichungen mit Trennung von Variablen

Question

Hallo miteinander,

die Aufgabe lautet so:

Ich komme leider bis zum Teil der Integration. Wie kann ich den rechten Term am besten integrieren.

Ist die Schreibweise bis jetzt richtig?

Answer 1

die 2. Zeile stimmt nicht.

x^2+1 ist NICHT  x+2x+1

Meine Berechnung:

Comments

Hallo GroßerLöwe

wenn ich 2x/x^2+1 integriere wie bekomme ich dann ln(x^2+1)?

Ich bekomme  doch ln durch Integration von 1/x?

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Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.

Schau mal unter " Besondere Regeln"

http://www.mathebibel.de/integrationsregeln

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Danke Großer Löwe

schwer immer die Regeln im Kopf zu behalten.

Habe es jetzt verstanden.

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Die konstante Funktion y = 0 ist ebenfalls eine Lösung der DGL.

(vgl.meine Antwort)

Answer 2

(x²+1) * y '  = 2x * y²

y ' =  2x * y² / (x²+1)

dy/dx = 2x * y² / (x²+1)  | * dx | : y²  [ y≠0 ,  y=0 vgl. unten # ]

1/y² * dy =  2x  / (x²+1) * dx

∫ 1/y² * dy = ∫  2x  / (x²+1) * dx 

Der rechte Integrand hat die Form  u' / u, also die Stammfunktion ln(u), links integrierst du y^-2 mit der Potenzregel:

-1 / y  =  ln(x²+1) + c

y = -1 /  [ ln(x²+1) + c ]     mit c∈ℝ und D_c = ℝ \ { ± e^-c/2·√(1 - e^c) },

 weil der Nenner nicht 0 werden darf.

#  Die berechneten Funktionen haben keine Nullstellen

Die konstante Funktion y = 0 ist ebenfalls eine Lösung der DGL.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung.

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Habe noch eine zweite Aufgabe. Tu mich irgendwie schwer mit dem Integrieren.

Die Integration bin ich mir nicht sicher ob es stimmt.

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∫  dy/(y-1) = ∫ (x+1)/x dx  = ∫ (1 + 1/x) dx

ln( |y-1| ) = x + ln(|x|) + c

|y-1| = e^{x + ln(x) + c} = e^c • e^x • e^ln(|x|) = e^c • |x| • e^x 

y = ± e^c • |x| • e^x + 1

....

Rest ähnlich wie in meiner Antwort.