z^4 = -256? Komplexe Zahlen

Question

Es sei z^4 = -256 . Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene.

Ich würde erstmal

z = vierte√-256

umschreiben. Ist das schon falsch oder kann man damit dann mit i rechnen? Lösung bitte

Answer 1

z^4=-256=256*e^{iπ}

der Grad des Polynoms auf der linken Seite ist 4, somit hast du 4 Lösungen der Gleichung zu erwarten.

allgemeine Formel zur Lösung:

z^n=w=r*e^{iφ}

--> z_k=r^{1/n}*e^{i*[φ/n+2*k*π/n]}, k=0,1,...,n-1

hier : r=256, n=4, φ=π

z₁=4*e^{i*π/4}

z₂₌4*e^{i*3/4*π}

z₃=4*e^{i*5/4π}

z₄=4*e^{i*7/4π}

Comments

Danke, ist es egal wie man die Gleichung löst?
Die Lösung von mathef finde ich nämlich einfacher.

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Jo, ist egal. Gibt mehrere Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen

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Alles klar habs jetzt verstanden, nur wie zeichnet man die lösungen in die Gaußsche Zahlenebene?

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Du zeichnest einen Kreis mit Radius 4, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.

Dann fährst du den Kreis entlang im (gegen den Uhrzeigersinn) um den Winkel π/4=45° von der x-Achse aus.

Das ist dann der gesuchte Punkt. Für die 3 anderen Winkel machst du dasselbe.

Zum Vergleich, hier ein Bild mit Wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%3D-256

Answer 2

Ich würde erstmal

 ±√-256   = ±16i   nehmen und aus jedem wieder die ±Wurzel

  gibt    ±√16i   =  ± ( 2√2 + 2√2* i )

und     ±√-16i  = ±   ( 2√2 - 2√2* i )

Dann hst du die 4 Lösungen.

Comments

Verstehe das noch nicht so ganz. Wie kommst du denn auf 16i und warum +-?

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z^4 = (z^2) ^2 = -256

Erst mal das äußere Quadrat auflösen

Dann hast du z^2 = ±16i  

Das ist genau wie bei den reellen Zahlen

x^2 = 25 hat die Lösungen 5 und - 5 also sozusagen ± 5.

Und zurück zu z^4 = (z^2) ^2 = -256

führt also auf   z^2 = 16i     oder      z^2 = - 16i 

und  jeder dieser beiden Gleichungen hat wieder 2 Lösungen,

also am Ende sind es 4.

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Noch eine Frage: Wie bist du dann von ±√16i auf  ± ( 2√2 + 2√2* i )  usw. gekommen?

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mach mal den Ansatz  ( a+bi ) ^2 = 0 + 16i

gibt a^2 + 2abi - b^2 = 0 + 16i

also  2ab = 16  und  a^2 - b^2 = 0 

also   b = 8/a und     a^2  - 64 / a^2 = 0

                                    a^4 = 64

                                      a = ±√8 = ±2√2

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Achso dann kann man doch besser schreiben ±√16i =  ± ( √8 + √8* i ) oder nicht?

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ist auch ok, aber wenn es ganz schön sein soll nimmt man

ja  √8 =   √4*2)  =   √4   *   √2 =   2*  √2

sog. genanntes "teilweise radizieren".