Wie müssen die Maße der Quadrate gewählt werden, damit der Kasten den maximalen Rauminhalt erhält?

Question

Hier die ganze Aufgabe:
Eine Pappfabrik stellt aus rechteckigen Pappestücken mit den Seitenlängen a und
b Pappkästen her, die oben offen sind. Dazu wird an jeder Ecke ein Quadrat
abgeschnitten.
Wie müssen die Maße der Quadrate gewählt werden, damit der Kasten den maximalen
Rauminhalt erhält, wenn a = b = 18cm ist?

Also, ich bin nicht sicher mit diese Aufgabe.  Wenn ich mir richtig vorstelle, wir habe 4 Seiten und Boden. Und bei alle Ecken werden die Quadraten [x;x] abgeschnitten.  Wie und was muss ich mit diese Angaben ausrechnen?

Answer 1

a = b = 18

Wenn man Quadrate der Größe x*x abschneidet, ergibt sich als Rauminhalt des Pappkastens:

(a - 2x) * (b - 2x) * x =

(18 - 2x) * (18 - 2x) * x =

(324 - 72x + 4x^2) * x

Also

f(x) = 4x^3 - 72x^2 + 324x

f'(x) = 12x^2 - 144x + 324

Notwendige Bedingung für Maximum ist f'(x) = 0

Also

f'(x) = 12x^2 - 144x + 324 = 0

x^2 - 12x + 27 = 0

x1 = 6 + √(36 - 27) = 6 + 3 = 9

x2 = 6 - √(36 - 27) = 6 - 3 = 3

9 scheidet als Seitenlänge des abgeschnittenen Quadrats aus. 

Überprüfen wir, ob die 2. Ableitung für x = 3 kleiner als 0 ist (hinreichende Bedingung für Maximum): 

f''(x) = 24x - 144

f''(x) = 72 - 144 < 0

Die abgeschnittenen Quadrate müssen also eine Seitenlänge von 3cm haben. 

Comments

P.S.

Das Volumen des Pappkastens beträgt dann

432 cm^3