Folgern dass wenn die Determinante ungleich 0 gibt es eine Inverse Matrix

Question

Ich sitze jetzt schon ein paar Tage an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter!

Ich soll beweisen, dass im Fall det(A)≠0 ⇒ MatrixB= 1/det(A) * (d -b

                                                                                                     -c a) als Inverse von A ist...

Ich habe versucht so vorzugehen, dass AB= Einheitsmatrix sein muss und bin auf ein LGS gestoßen. Wie soll ich denn dann aber das lösen?

B=(x y.      A=(a. b

     z t).            c. d)

I xa+yc=1=ax+bz

II xb+yad=0=ay+bt

III za+tc=0=cx+dz

IV zb+td=1=cy+dt

Oder ist das ein ganz falscher Weg? Weil ich ja eigentlich aus det(A)≠0 das Ergebnis folgern soll...

Vielleicht kann mir da ja irgendjemand behilflich sein, zerbreche mir schon die ganze Zeit den Kopf!

Answer 1

Betrachte

((a,b,),(c,d))|((1,0),(0,1))

und nutze den Gauß-Algorithmus, um auf der linken Seite die Einheitsmatrix zu erzeugen.

Dann entsteht als Faktor 1/(ab-cd), was genau 1/det(A) ist.

Und somit gilt die Gleichung nur für det(A)≠0

Falls dir die Umformungsschritte nicht einfallen, kannst du sie hier nachlesen:

http://www.math.jhu.edu/~jmb/note/twoinv.pdf