max. Definitionsbereich ln

Question

gegeben ist folgende Funktion: f(x)=ln(x+3)-ln(x+1).

Wieso gilt für den maximalen Definitionsbereich D_max: D_max=ℝ_>-1?

und wie kann ich den Wertebereich bestimmen, die durch f entstehen?

Answer 1

Der natürliche Logarithmus ist nur für Werte $\ge 0$ definiert. D.h. es mus gelten $x+3 \ge 0$ und $x+1 \ge 0$. D.h. es muss gelten $x \ge -1$.

Der Wertebereich des Logarithmus ist ganz $\mathbb{R}$

Comments

Der Wertebereich des Logarithmus ist ganz R,

aber der von dieser Fkt. nicht !R

R

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ja das stimmt, habe nicht richtig zu Ende überlegt.

Answer 2

ln ist nur definiert für positive Zahlen

Damit sowohl x+3 als auch x+1 positiv sind, muss x>-1 sein.

Du kannst auch zusammenfassen zu ln ( (x+3) / ( x+1) )

Für alle x>-1 nimmt (x+3) / ( x+1)

das alle positiven Werte an, die größer als 1 sind und davon

jeweils der ln gibt Werte von 0 (ausschließlich ) bis unendlich,

also Wertebereich  ] 0 ; +∞ [

Answer 3

weil $\log(x)$ nur für $x > 0$ definiert ist, muss $x + 3 > 0$ und $x + 1 > 0$ gelten. Diese beiden Ungleichungen sind nur für $x > -1$ erfüllt, denn die zweite Ungleichung impliziert die erste.

Wählt man aber die Schreibweise

$\log(x+3) - \log(x+1) = \log\left(\frac{x+3}{x+1}\right)$,

so ist der maximale Definitionsbereich durch $D_{\text{max}} = \mathbb{R} \setminus [-3, -1]$ gegeben, da $\frac{x+3}{x+1} > 0$ auch für $x < -3$ gilt.

Siehe den Plot: https://www.google.de/search?client=ubuntu&channel=fs&q=log(x%2B3)+-….

Mister

Comments

Aber die Umformung gilt für x<-3 nicht.