Vollständige Induktion. Ungleichung (1+x)^n ≥ 1 + nx zeigen.

Question

ich kann das mit der vollständige indution noch nicht so gut und bräuchte hilfe bei folgender aufgabe:

neweisen sie mit vollständiger induktion:

(1+x)^n  >=  1 + nx für alle n ∈ℕ, x ∈ℝ, x>= -1

danke:)

Answer 1

Hallo Samira,

den Beweis findest du z.B.  hier

In diesem  Video  wird der Bweis (und die vollständige Induktion :-) ) noch ausführlicher erklärt.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Induktionsvoraussetzug ist ist: Es gibt ein k für das gilt (1+x)^k  >=  1 + kx. (in der zu beweisenden Formel wird n durch k ersetzt.)

Die Behauptung lautet, dass dann auch gilt (1+x)^k+1  >=  1 +(k+1)x . (in der zu beweisenden Formel wird n durch k+1 ersetzt.)

Der Induktionsschluss beweist die Behauptung auf der Basis der Voraussetzung. Das geht hier durch Umformung: Man multipliziert die Voraussetzung auf beiden Seiten mit (1+x) und erhält (1+x)^k+1  >=  (1 + kx)(1+x). Für die rechte Seite gilt: (1 + kx)(1+x) = 1+(k+1)x + kx² >=  1 +(k+1)x weil kx² immer positiv ist. Also gilt   (1+x)^k+1  >=  1 +(k+1)x.