Matrix für Drehung um den Ursprung

Question

Begründen Sie ! Bei geeigneter Wahl der Unbekannten a und b beschreibt die Matrix           
1/2   a
  b   1/2

eine Drehung um den Ursprung. Nennen sie ein Beispiel für die Wahl von a und b .

Comments

1/2    a

b      1/2

Answer 1

Die allgemeine Drehmatrix um den Ursprung um den Winkel α lautet

R = [cos α, -sin α; sin α, cos α]

Wirhaben nun
cos α = 1/2
α = 60

Damit würde dann die Matrix vollständig lauten

R = [1/2, -√3/2; √3/2, 1/2]

a = -√3/2
b = √3/2

Diese Matrix würde dann eine Drehung um 60 Grad beschreiben.

Comments

Ohne Taschenrechner ist das aber doch fast unmöglich oder gibt es da einen Trick wie ich das machen kann bzw. wie ich das dann überprüfe.

Hintergrund : Das ist eine Klausuraufgabe, welche ohne Taschenrechner gerechnet werden soll !

Oder ist das einfach wissen, was man sich aneignen sollte?!?!


Und wie wär dann die Begründung in der Antwort ?

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Also ich habe die Aufgabe ohne Taschenrechner gerechnet. Die Drehmatrix solltet ihr besprochen haben. Ich gehe davon aus das du die kannst oder nicht?
Was die Sinus und Kosinusfunktion betrifft, gibt es einige Funktionswerte die man kennen sollte.

Das sind 0, 30, 45, 60 und 90 Grad. Ich habe die mal für dich zusammengefasst.

https://docs.google.com/document/d/1wEV7M0Jn-oLbzq-Z3SM4hPNRygXfx7eYN5D0u1pPFrQ/pub

Da die im Umgang mit dem Sinus und Kosinus auch häufiger gebraucht werden sollte man sich die auch einprägen.

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Hi!

Ohne Taschenrechner ist das aber doch fast unmöglich oder gibt es da einen Trick wie ich das machen kann bzw. wie ich das dann überprüfe.

Damit Deine Matrix eine Drehmatrix wird, muss b = -a sein.

Weiter darf sich die Länge eines Vektors beim Drehen nicht verändern. Nimm also einen Vektor, naheliegenderweise einen der Länge 1, also etwa (1 ; 0), und bestimme für den Bildvektor (1/2 ; -a) den Parameter a so, dass der Bildvektor auch die Länge 1 hat.

(Die angegebenen Vektoren sind Spaltenvektoren.)

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So langsam kommt es wieder in mein Gedächtnis gerufen !!! Nur das traurige ist das wir das so nicht wirklich besprochen haben und es mir deswegen etwas schwer gefallen ist !


Ich Danke vielmals !!!

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Noch ein Kommentar:

cos α = 1/2
α = 60°

Käme da theoretisch nicht noch 

α = -60° = 300° 

in Frage? 

sin (300°) = -√3/2.

Verlangt ist nur ein Beispiel. Damit ergäbe sich ein zweites.

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Käme da theoretisch nicht noch α = -60° = 300° in Frage?

Ja, es gibt zwei Möglichkeiten. Das Minus kann rechts oben oder links unten stehen. Die beiden Matrizen sind zueinander invers und beschreiben Sechstel-Drehungen nach links bzw. rechts.