Gleichung lösen: (x^2 + x·(y + 1))/(y + 1) = 2013

Question

Ich möchte die folgende Gleichung lösen:

Gleichung: (x^2 + x·(y + 1))/(y + 1) = 2013

Könntet ihr mir helfen?

gruß...

Answer 1

Da sind ja 2 unbekannte drin. Also kannst du zu einer Unbekannten auflösen:

(x^2 + x·(y + 1))/(y + 1) = 2013

x^2 + x·(y + 1) = 2013·y + 2013

x^2 + x·y + x = 2013·y + 2013

Alles mit y nach links alles andere nach rechts

x·y - 2013·y = - x^2 - x + 2013

y·(x - 2013) = - x^2 - x + 2013

y = (- x^2 - x + 2013) / (x - 2013)

y = (x^2 + x - 2013) / (2013 - x)

Hier kann man jetzt für x beliebige Zahlen einsetzen und kommt auf, die Zugehörige Lösung für y. Wenn man für x 0 einsetzt kommt für y -1 heraus. Das ist allerdings keine Lösung, weil y = -1 nicht zur Definitionsmenge passt, da in der Ausgangsgleichung durch (y + 1) geteilt wird.

Trotzdem gibt es unendlich viele Lösungen und laut Wolframalpha sogar 53 ganzzahlige.

Folgende ganzzahlige Lösungen findet Wolframalpha

{{x == -4050156, y == 4048143},
{x == -1348710, y == 1346699},
{x == -448228, y == 446223},
{x == -366366, y == 364363},
{x == -120780, y == 118799},
{x == -64416, y == 62463},
{x == -38918, y == 37003},
{x == -31476, y == 29583},
{x == -20130, y == 18299},
{x == -9150, y == 7499},
{x == -5368, y == 3903},
{x == -4026, y == 2683},
{x == -1708, y == 783},
{x == 924, y == 783},
{x == 1342, y == 2683},
{x == 1464, y == 3903},
{x == 1650, y == 7499},
{x == 1830, y == 18299},
{x == 1892, y == 29583},
{x == 1914, y == 37003},
{x == 1952, y == 62463},
{x == 1980, y == 118799},
{x == 2002, y == 364363},
{x == 2004, y == 446223},
{x == 2010, y == 1346699},
{x == 2012, y == 4048143},
{x == 2014, y == -4056197},
{x == 2016, y == -1354753},
{x == 2022, y == -454277},
{x == 2024, y == -372417},
{x == 2046, y == -126853},
{x == 2074, y == -70517},
{x == 2112, y == -45057},
{x == 2134, y == -37637},
{x == 2196, y == -26353},
{x == 2376, y == -15553},
{x == 2562, y == -11957},
{x == 2684, y == -10737},
{x == 3102, y == -8837},
{x == 4026, y == -8053},
{x == 5734, y == -8837},
{x == 8052, y == -10737},
{x == 9394, y == -11957},
{x == 13176, y == -15553},
{x == 24156, y == -26353},
{x == 35502, y == -37637},
{x == 42944, y == -45057},
{x == 68442, y == -70517},
{x == 124806, y == -126853},
{x == 370392, y == -372417},
{x == 452254, y == -454277},
{x == 1352736, y == -1354753},
{x == 4054182, y == -4056197}}

Comments

Ok, danke schön! Habe es jetzt verstanden.

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Wir sehen, dass wenn wir z.B. für x = 0 einsetzen y = -1 heraus kommt. Das wäre eine Lösung.

Ich sehe das nicht!

 

@Legen...Där: Was gibt es an einer offensichtlich falschen Antwort denn zu verstehen?

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Habe ich auch gerade gesehen, denn y=-1 würde ja bedeuten, dass man auch durch 0 teilt... Tut mir leid.

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Ops stimmt. y darf ja nicht -1 sein weil ich durch 0 nicht teilen darf.
Ok. Dann nehmen wir eine andere der unendlich vielen Lösungen. Z.B. x = 924, y = 783

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Wieso ist das eine Lösung? Wie kommst du darauf?

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Man kann von der Gleichung

y = (x² + x - 2013) / (2013 - x)

auf der rechten Seite noch eine Polynomdivision machen

y = - x - 2014 - 4052169/(x - 2013)

y = - x - 2014 - 3^2·11^2·61^2/(x - 2013)

Damit wir eine ganzzahlige Lösung erhalten müsste x - 2013 ein Teiler von 4052169 sein. Über diese Bedingung findet man jetzt die ganzzahligen Lösungen.

Aber da eigentlich in der Aufgabe ja nicht explizit nach ganzzahligen Lösungen gefragt worden ist muss man das auch nicht machen.

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Neben den Paaren (x , -1) können auch Paare der Form (0 , y) und (2013 , y) nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sein.

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Weiter sind Paare (x , y) keine Lösung, bei denen -8052 < y < -1 ist.

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Das heißt, alle Lösungen also {x == ... ; y == ...} sind Lösungen der Gleichung?

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Was soll das heißen?

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Das heißt alle Wertepaare (x, y) mit

y = (-x^2-x+2013)/(x-2013)    D = R \ {0, 2013}

sind Lösungen der Gleichung.