Homomorphismen erstellen ℤ_(12) → ℤ_(6)

Question

Ich möchte alle Homomorphismen erstellen von ℤ₁₂  → ℤ_(6).  

Für einen Homomorphismus muss gelten dass f(a+b)=f(a)+f(b) und f(1)=1 laut unserem Skript. Ich verstehe nicht wie man da vorgeht? Picke ich mir jetzt irgendein Element aus  ℤ₁₂ und schaue ob f(a+b)=f(a)+f(b) stimmt?

Comments

Allenfalls hier nachfragen: https://www.mathelounge.de/377957/bestimme-alle-homomorphismen-von-ℤ_-9-nach-ℤ_-12

Es scheint unklar zu sein, ob es um einen Ring gehen soll.

Vielleicht wirst du auch in der Rubrik "ähnliche Fragen" fündig.

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> muss gelten dass f(a+b)=f(a)+f(b) und f(1)=1

Muss da nicht noch etwas zusätzlich gelten?

Answer 1

Sei n ∈ ℤ₆. Dann gibt es höchstens einen Homomorphismus f von ℤ₁₂ nach ℤ₆ mit f(2) = n.

Beweise das.

> Picke ich mir jetzt irgendein Element aus  ℤ₁₂ und schaue ob f(a+b)=f(a)+f(b) stimmt?

Nein, natürlich nicht. Um zu prüfen ob f(a+b)=f(a)+f(b) ist, brauchst du

• einen Wert für a,
• einen Wert für b,
• eine Abbildung f.

Da reicht nicht irgendein Element aus  ℤ₁₂.

Comments

Okay, danke!

Und wie finde ich so aus dem Nichts eine Abbildung f? Mir ist das nicht schlüssig

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Mittels ∀a,b f(a+b)=f(a)+f(b).

Zum Beispiel muss f(3) = f(1 + 2) = f(1) + f(2) = 1+n gelten.

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Könnte ich nicht auch willkürlich f(3)=2+n setzen?

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Natürlich darfst du das. Welche der Eigenschaften von f möchtest du dafür aufgeben:

• f ist ein Homomorphismus von ℤ₁₂ nach ℤ₆ oder
• f(2) = n?
  

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Wieso sollte ich die Eigenschaft dass es ein Homomorphismus ist aufgeben?

Wie soll man dann aber ALLE bestimmen wenn man sich das willkürlich aussuchen kann , dann geht das ja ewig so weiter?

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> Wieso sollte ich die Eigenschaft dass es ein Homomorphismus ist aufgeben?

Das musst du nun mal wenn du eine Abbildung f von ℤ₁₂ nach ℤ₆ haben willst, bei der f(2) = n und f(3) = n+2 ist.

> dann geht das ja ewig so weiter?

Wieso sollte es ewig so weiter gehen? Nur weil es unendlich viele Möglichkeiten gibt, n zu wählen?

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Verstehe ich es richtig dass es nicht als Homomorphismus funktioniert weil damit f(2)=n und f(3)=n+2 gilt, f(1)=2 gelten müsste und dass der Definition eines Homomorphismus widerspricht?
Aber wie viele Homomorphismen gibt es dann?Und wie schreibe ich ihn als Abbildung auf wenn bei mir z.B jetztf(1)=1f(2)=nf(3)=1+nf(4)=1+1+nusw.
gilt?

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Und warum überhaupt f(2)=n und nicht z.B.  f(3)=n?

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> dass es nicht als Homomorphismus funktioniert weil damit f(2)=n und f(3)=n+2 gilt, f(1)=2 gelten müsste

Das ist richtig so.

> Aber wie viele Homomorphismen gibt es dann?

Wieviele Möglichkeiten gibt es, f(2) zu wählen?

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Könnte man es denn nicht auf irgendein Element von ℤ₆ schicken? Also irgendeine der Klassen 0,1,2,3,4,5.

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Ja. Und dadurch bekommt man alle Homomorphismen.

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Puhh..okay.

Und die schreibe ich dann einfach durch diesen Weg auf mit f(2)=.. oder kann man dass allgemeiner formal darstellen?