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(a) Sei φ : (Z8, +8) → (Z12, +12) ein Homomorphismus mit φ(1) = 3.
Berechnen Sie φ(x) fur alle ¨ x ∈ Z8.
(b) Geben Sie alle Homomorphismen φ : (Z6, +6) → (Z10, +10) an. Begründen Sie, dass ¨
Ihre Liste vollstandig ist.

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1 Antwort

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a) Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/312497/sei-z8-z12-ein-homomorphismus-mit-berechnen-sie-fu-r-alle-z8

b) Wie a) zeigt, ist so ein Hom durch das Bild von 1 festgelegt.

Und es kann sein  φ(1)=0   (Nullhomomorphismus)

 φ(1)=1 geht nicht, denn dann wäre ja

φ(6)= φ(1)+ φ(1)+ φ(1)+ φ(1)+ φ(1)+ φ(1)

=1+1+1+1+1+1 = 6

Aber in Z6 ist 6=0 und in Z10 nicht. Wegen der

Hom-Eigenschaft muss aber  φ(0)=0 sein.

Probiere alle Möglichkeiten für  φ(1) aus und es ergibt sich

 φ(1)=2 ,     φ(1)=5     klappt, alle anderen nicht.

Es gibt also nur 3 solche Hom'en.

von 170 k

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