Verteilen verschiedener Obststücke auf Schalen

Question

Hallo :)

Zur folgenden Aufgabe habe ich ein paar Fragen:

10 Schalen stehen bei einem Schulfest nebeneinander in einer Reihe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, um darin 8 Obststücke zu verteilen, wenn:
a) es sich um lauter gleichaussehende Äpfel handelt und max. ein Apfel in einer Schale liegt?
b)es lauter verschiedene Obststücke sind, von denen höchstens eine in einer Schale liegt?
c)es lauter verschiedene Obstsorten sind und beliebig viele davon in einer Schale liegen können?
d)es wieder nur gleich aussehende Äpfel sind, von denen beliebig viele in einer Schale liegen können?

Ich habe bei allen 4 Teilaufgaben das Problem, dass ich mir nicht sicher bin, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht. Ebenso weiß ich nicht, ob es mit Wiederholung ist oder nicht.

Es wäre toll, wenn Ihr mir helfen könntet!

Liebe Grüße
Sabine

Comments

Vielen lieben Dank euch beiden!!! :)
Ich hab mich sehr über eure Lösungsvorschläge gefreut und sie haben mir auch wirklich weitergeholfen!!! :)
LG Sabine

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Prima! Das ist ja auch Sinn der Sache :-)

LG

Andreas

Answer 1

Hallo Sabine. Wenn ich nicht genau weiter weiss mache ich mir immer eine Skizze. probier das selber auch mal. Hier meine Lösungsvorschläge:

10 Schalen stehen bei einem Schulfest nebeneinander in einer Reihe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, um darin 8 Obststücke zu verteilen, wenn:

a) es sich um lauter gleich aussehende Äpfel handelt und max. ein Apfel in einer Schale liegt?

(10 über 8) = 45

b)es lauter verschiedene Obststücke sind, von denen höchstens eine in einer Schale liegt?

10! / (10 - 8!) = (10 nPr 8) = 1814400

c)es lauter verschiedene Obstsorten sind und beliebig viele davon in einer Schale liegen können?

10^8 = 100000000

d) es wieder nur gleich aussehende Äpfel sind, von denen beliebig viele in einer Schale liegen können?

(10 + 8 - 1 über 8) = (17 über 8) = 24310

Wie wir sehen sind damit eigentlich alle Kombinations- und Variationsmöglichkeiten durchgespielt. Daher finde ich das eine gute Aufgabe.

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PS: Wenn etwas gleich aussieht ist die Reihenfolge egal, weil du sie nicht unterscheiden kannst.

Kann ein Element öfter gewählt werden ist es mit Zurücklegen.

Answer 2

Hallo Sabine :-)


a)

Die Äpfel sehen gleich aus, und maximal einer darf in einer Schale liegen.
Also kann man auch fragen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass von den 10 Schalen 2 leer bleiben?

Das sind 10 über 2, also 10!/(2!*8!) = 9*10/2 = 45


b)

Lauter verschiedene Obststücke, von denen höchstens eins in einer Schale liegt?

Das erste Obststück hat 10 freie Positionen, für jede Wahl bleiben für das 2. Obststück 9 freie Positionen, für jede Wahl bleiben für das 3. Obststück 8 freie Positionen etc.
Also 10*9*8*7*6*5*4*3 = 1.814.400 Möglichkeiten


c)

Lauter verschiedene Obstsorten und beliebig viele davon in einer Schale?

Die erste Obstsorte hat 10 mögliche Positionen, die zweite ebenfalls, die dritte auch etc.

Also:

10^8 = 100.000.000 Möglichkeiten


d)

Gleich aussehende Äpfel und beliebig viele davon in einer Schale?

Da fällt mir auf Anhieb keine Lösung ein :-(

So etwas kann man, wenn man sich nicht sicher ist, mit kleineren Zahlen durchspielen.
Nehmen wir an, wir haben 4 Schalen und 3 Äpfel. Dann gibt es folgende Möglichkeiten:

1110

1101

1011

0111


2100

2010

2001

1200

0210

0201

1020

0120

0021

1002

0102

0012


3000

0300

0030

0003


20 Möglichkeiten.
Ich denk nochmal darüber nach :-)


Liebe Grüße

Andreas

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Habe mir Teilaufgabe d) nochmals überlegt:
Mein Beispiel (4 Schalen, 3 Äpfel) kann man so darstellen:

I  I  I  I  I         das sind die 4 Schalen, die unmittelbar nebeneinander stehen.
0 0 0             das sind die 3 Äpfel, die irgendwie auf diese 4 Schalen verteilt werden.
Die äußeren Begrenzungen der Schalen müssen stehen bleiben, so dass sich z.B. folgende Verteilung ergeben könnte:
| 00 |  |  | 0 |        
Zwei Äpfel in Schale 1, einer in Schale 4.

Das Problem reduziert sich dann auf die Anzahl der Permutationen von | | | 000

Man beachte, die äußeren Begrenzungen der 1. und 4. Schale müssen stehen bleiben.
Anzahl der Permutationen ist

6 über 3 = 20 Möglichkeiten, 3 Äpfel auf 4 Schalen zu verteilen.
In Deiner Aufgabenstellung kommen wir analog auf
| | | | | | | | | | | 0 0 0 0 0 0 0 0
und
| | | | | | | | | 0 0 0 0 0 0 0 0
(Die äußeren Begrenzungen der Schalen bleiben stehen.)

Anzahl der Permutationen ist

17 über 9 = 24.310 Möglichkeiten.

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Völlig richtig. Man braucht die äußeren Begrenzungen auch gar nicht erst aufzuschreiben

Wir haben acht Äpfel

O O O O O O O O

Will ich die jetzt auf 10 Personen verteilen muss ich 9 Trennstriche einfügen, die die Äpfel trennen. Also wir trennen die 10 Kinder wie folgt.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

Nun das mit den Äpfeln.

O | | O | O | O O | | O | O | | O

Die Anzahl Kombinationen ergibt sich dann nach den Permutationen

(8 + 9)! / (8! * 9!) oder mehr Formelmäßig ((10 + 8 - 1) über 8)