Integral berechnen (Vektorfeld, Kurve)?

Question

ich habe folgende Aufgabentstellung:

Die offizielle Lösung von Teilaufgabe c) ist 4π. Ich komme hier jedoch auf 8π².

Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? Eventuell falsche Grenzen? Oder war der letzte Schritt zuviel?

Comments

Vielleicht solltest Du Dir mal die Muehe machen, G zu skizzieren. Das Quadrat [-π,π]×[-π,π] wird es kaum sein.

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Du integrierst jeweils über ein Quadrat, nicht über G

Edit: Hab gar nicht gesehen, dass da schon ein Kommentar steht.

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k(t) ist ein Kreis mi Radius R.

Dann sollte x von -R bis R und y von -sqrt(R^2-x^2) bis sqrt(R^2-x^2) laufen.

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Quadrat?

http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot+%5Bcos%28t%29-sin%28t%29%2Ccos%28t%29%2Bsin%28t%29%5D+t%3D-Pi..Pi&x=0&y=0

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Das heißt x läuft von -Pi bis Pi?

Aber was muss ich für das x einsetzen (bei y)? Oder lasse ich das x² so unter der Wurzel stehen?

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x^2 bleibt unter der Wurzel stehen.

Erst das innere Integral integrieren und dann

das äussere.

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x läuft nicht von -Pi bis Pi !

x läuft von -R bis R

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Aber was ist dann der R? Ich dachte der Radius ist Pi?

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Ja, R ist eine Kreisscheibe, er hat aber über ein Quadrat integriert.
Sobald du erkannt hast, dass der Weg einen Kreis beschreibt, kannst du dir das Integrieren sparen, da der Integrand jeweils konstant ist und du weißt, dass die Fläche eines Kreises $$\pi r^2$$ ist, wobei du den Radius $$r = \sqrt 2$$leicht an deiner Parametrisierung erkennst (setz z.B. t=0, dann erhältst du den Punkt (1,1)).
Damit hast du
$$\int = \pi\cdot 2 + \pi\cdot 2 = 4\pi.$$

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Was bedeutet V2,y und V1,x ?

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Ahh, ok danke! Jetzt verstehe ich nur noch nicht warum ich dann zweimal die Fläche benötige?

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V2,y ist die zweite Zeile aus dem Vektorfeld, abgeleitet nach y und

V1,x ist die erste Zeile aus dem Vektorfeld, abgeleitet nach x

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Ist im Prinzip egal.$$\int(V2_{,x}-V1_{,y})=\int V2_{,x} - \int V1_{,y},$$Kennst aber natürlich auch direkt V2,x - V1,y =2 ausrechnen und integrieren, dann hat du ein Integral mit Integrand 2 statt zwei Integrand mit Integranden 1.

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Ok, V2,x - V1,y = 2 hatte ich auch berechnet. Wenn ich die 2 integrieren wollen würde, wie wären dann die Grenzen?