Das Kurvenintegral 2. Art bestimmen (Ohne Potential).

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Vektorfeld \( \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) durch

\( \vec{F}(x, y)=\left(\begin{array}{c} x+1 \\ x^{2}-y^{2}+x \end{array}\right) . \)

Berechnen Sie das Kurvenintegral \( \int \limits_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{x} \), wobei \( \gamma \) die geradlinige Verbindung von \( \vec{P}=(2,2)^{T} \) nach \( \vec{Q}=(3,1)^{T} \) parametrisiert.

(Hinweis: Das Vektorfeld \( \vec{F} \) hat kein Potential!)

Comments

Zunächst sollte gamma parametrisiert werden,
da es sich um eine Strecke handelt, wäre
gamma(t) = (2, 2) + t*((3, 1) - (2, 2)) mit t ∈ [0, 1]
naheliegend. (jeweils transponiert gedacht)

Als Nächstes sollte gamma ein wenig vereinfacht werden und seine beiden Komponenten x(t) und y(t) irgendwo eingesetzt werden...

Answer 1

Ja verwende die Parametrisierung von oben

mit t [0,1]

gamma(t) = (2;2) +t*(1;-1)  => gamma' (t) = (1;-1)

Setze ein:

integrate(F(gamma(t))*gamma' (t),t,0,1)

=integrate( t+3 - (t^2 + 4t + 4 -t^2 + 4t - 4 +2 -t) ,t, 0,1)

=integrate(1-8t,t,0,1)

= -3